uoj#348/洛谷P4221 [WC2018]州区划分（FWT）

传送门(uoj)

传送门(洛谷)

全世界都会子集卷积就咱不会……全世界都在写\(FMT\)就咱只会\(FWT\)……

前置芝士

或运算\(FWT\)或者\(FMT\)

左转洛谷模板区，包教包会

子集卷积

定义：对于两个集合幂级数\(F,G\)，它们的子集卷积\(H\)定义为$$H_S=\sum_{T\subseteq S}F_TG_{S-T}$$

简单来说就是两个下标要满足的条件为\(L\cap R=\varnothing\)且\(L\cup R=S\)

\(L\cup R=S\)就是个异或卷积的事儿，关键是\(L\cap R=\varnothing\)太麻烦了

转化一下，\(L\cap R=\varnothing\)等价于\(|L|+|R|=|S|\)

那么我们可以新加一维，设\(f_{i,S}\)表示集合大小为\(i\)，集合为\(S\)，那么只有在\(i=|S|\)的时候这才是个对的东西。一开始的时候，我们可以把所有的\(f_{|S|,S}\)赋值为原来的\(f(S)\)（\(g\)同理），然后不断枚举\(i\)，做完\(FWT\)之后令\(h_{i,S}=\sum_{j=0}^if_{j,S}g_{i-j,S}\)。每个\(i\)做完后，把那些\(|S|\neq i\)的\(h_{i,S}\)清零就好了

如果不是很明白为什么的话，可以这样理解。首先对于所有的\(j<i\)，\(f_j,g_j\)里面存的都是正确的值。根据\(FWT\)的性质，未清零之前\(h_{i,S}\)中每一个\(S\)都是由那些\(L\cup R=S\)的\(f_L\)和\(g_R\)得来的，只要除去那些\(|L|+|R|\neq |S|\)的，剩下的肯定正确

本题题解

设\(f_S\)为选点集合为\(S\)时的贡献之和，\(g_S\)当\(S\)是一个合法集合时为\({sum_S}^p\)，当\(S\)不合法时为\(0\)

那么递推式就是$$f_S=\frac{1}{{sum_S}^p}\sum_{T\subset S}f_Tg_{S-T}$$

似乎有点眼熟……话说这个不就是个子集卷积么……

等会儿？这玩意儿是自己卷自己啊？

但我们发现这里每一个数只会被自己的子集卷到，于是我们依然可以枚举\(i\)，那么所有\(|T|<|S|\)的\(f_{|T|,T}\)已经算好了，直接带进去卷就好了

另外，\(S\)是个合法集合就是说\(S\)不存在欧拉回路，那么\(S\)存在欧拉回路的充要条件就是\(S\)连通且每个点度数都是偶数，判一下就好了

所以咱真的不知道为啥大家都写\(FMT\)，咱写\(FMT\)比\(FWT\)慢好多啊……

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
char sr[1<<21],z[20];int C=-1,Z=0;
inline void Ot(){fwrite(sr,1,C+1,stdout),C=-1;}
void print(R int x){
    if(C>1<<20)Ot();if(x<0)sr[++C]='-',x=-x;
    while(z[++Z]=x%10+48,x/=10);
    while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
const int N=(1<<21)+5,P=998244353;
inline int add(R int x,R int y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline int dec(R int x,R int y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline int mul(R int x,R int y){return 1ll*x*y-1ll*x*y/P*P;}
int ksm(R int x,R int y){
	R int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=mul(x,x))if(y&1)res=mul(res,x);
	return res;
}
int sz[N],sum[N],inv[N],f[25][N],g[25][N],w[25],p[25],fa[25],deg[25],bin[25];
int lim,n,m,q,u,v;
int find(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void dft(int *A){
	for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
		for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
			for(R int k=0;k<mid;++k)
				A[j+k+mid]=add(A[j+k+mid],A[j+k]);
}
void idft(int *A){
	for(R int mid=1;mid<lim;mid<<=1)
		for(R int j=0;j<lim;j+=(mid<<1))
			for(R int k=0;k<mid;++k)
				A[j+k+mid]=dec(A[j+k+mid],A[j+k]);
}
int calc(R int S){
	if(!q)return 1;
	R int res=0;
	fp(i,1,n)if(S>>(i-1)&1)res=add(res,w[i]);
	return q&1?res:mul(res,res);
}
bool ck(R int S){
	if(sz[S]==1)return 0;
	int k=sz[S];
	fp(i,1,n)deg[i]=0,fa[i]=i;
	fp(i,1,n)if(S&(1<<i-1)){
		sum[S]+=w[i];
		fp(j,i+1,n)if((S&(1<<j-1))&&(p[i]&(1<<j-1))){
			++deg[i],++deg[j];
			if(find(i)!=find(j))fa[fa[i]]=fa[j],--k;
		}
	}
	sum[S]=q==0?1:q==1?sum[S]:sum[S]*sum[S];
	if(k>1)return true;
	fp(i,1,n)if((S&(1<<i-1))&&(deg[i]&1))return true;
	return false;
}
int main(){
//	freopen("testdata.in","r",stdin);
	n=read(),m=read(),q=read(),lim=(1<<n);
	fp(i,1,m)u=read(),v=read(),p[u]|=(1<<v-1),p[v]|=(1<<u-1);
	fp(i,1,n)w[i]=read();
	fp(i,1,lim-1)sz[i]=sz[i>>1]+(i&1);
	fp(i,1,lim-1){
		g[sz[i]][i]=ck(i)?sum[i]:0;
		inv[i]=ksm(sum[i],P-2);
	}
	fp(i,0,n)dft(g[i]);
	f[0][0]=1,dft(f[0]);
	fp(i,1,n){
		fp(j,0,i-1)fp(k,0,lim-1)f[i][k]=add(f[i][k],mul(f[j][k],g[i-j][k]));
		idft(f[i]);
		fp(k,0,lim-1)f[i][k]=sz[k]==i?mul(f[i][k],inv[k]):0;
		if(i!=n)dft(f[i]);
	}
	printf("%d\n",f[n][lim-1]);
	return 0;
}