AtCoder Regular Contest 073 E：Ball Coloring

题目传送门：https://arc073.contest.atcoder.jp/tasks/arc073_c

题目翻译

给你\(N\)个袋子，每个袋子里有俩白球，白球上写了数字。对于每一个袋子，你需要把袋子里的球染色成一个红色和一个蓝色，求出\((R_{mx}-R_{mn})*(B_{mx}-B_{mn})\)的最小值。其中\(R_{mx}\)表示红球的最大值，\(R_{mn}\)表示红球的最小值。蓝球同理。\(N\leqslant 2*10^5\)

题解

分情况讨论。假设最小值是红色，最大值是蓝色，那么我们只需要让红色的最大值尽量小，蓝色的最小值尽量大就行了，也就是权值小的全部涂红，大的全部涂蓝。

假设最小值和最大值都是红色，那么另外一种颜色我们就可以通过不断交换每一组两个球之间的颜色来判断答案是否能被更新。我们把袋子按照较小的那个权值从小到大排序，那么我们依次交换袋子里的球即可。可以证明，这样会使蓝色的球最大值减去最小值先慢慢变小，到最低点之后再慢慢变大。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

空间复杂度：\(O(n)\)

代码如下：

#include <set>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;

const int maxn=2e5+5,inf=2e9;

multiset<int>R,B;
ll Rmx=-inf,Rmn=inf,Bmx=-inf,Bmn=inf,ans;

int read() {
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	for(;ch<'0'||ch>'9';ch=getchar())if(ch=='-')f=-1;
	for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar())x=x*10+ch-'0';
	return x*f;
}

struct bags {
	int v1,v2;

	bags() {}

	bags(int _v1,int _v2) {
		v1=_v1,v2=_v2;
	}

	bool operator<(const bags &a)const {
		return v1<a.v1;
	}
}p[maxn];

ll calc() {
	return 1ll*(*R.rbegin()-*R.begin())*(*B.rbegin()-*B.begin());
}

int main() {
	int n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x=read(),y=read();
		if(x>y)swap(x,y);
		p[i]=bags(x,y);
		R.insert(x),B.insert(y);
	}
	sort(p+1,p+n+1);
	ans=calc();
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x=p[i].v1,y=p[i].v2;
		R.erase(R.find(x)),B.insert(x);
		B.erase(B.find(y)),R.insert(y);
		ans=min(ans,calc());
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}