POJ 2253 Frogger（最小生成树）

青蛙跳跃，题意大概是：青蛙从起点到终点进行一次或多次的跳跃，多次跳跃中肯定有最大的跳跃距离。求在所有的跳跃中，最小的最大跳跃距离SF-_-(不理解？看题目吧)。

可以用最小生成树完成。以起点为根，生成一棵最小生成树，直到树里包含了终点。

或者这么说吧，类似于Kruskal算法，我们每次选取不成环的最小边，直到这棵树选取了通往终点的最小边，那么最后选择的这条边必然是在树中最大的一条边，而且在其余的边中是最小的。你不会找到比这条边小的最大距离，因为比它小的最小距离都在树里了，而未选取该边前树中不包含终点，即比该边小的所有边无法到达终点。即改边满足的两个条件，最小，而且是起点到终点的最大距离（PS：挺绕的……）。

既然有思路了，可以直接写代码了。先是上面的Kruskal算法（16MS）：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

int root[];
int x[],y[];

int find(int x)
{
    return root[x]?root[x]=find(root[x]):x;
}

bool union_set(int a,int b)
{
    a=find(a);
    b=find(b);
    if(a==b)
        return false;
    root[b]=a;
    return true;
}

struct Edge
{
    int x,y,dis;
    bool operator<(const Edge& cmp) const
    {
        return dis<cmp.dis;
    }
} edge[];

int main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,cas=;
    while(~scanf("%d",&n) && n)
    {
        memset(root,,sizeof(root));
        for(int i=;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",x+i,y+i);
        int index=;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            for(int j=i+;j<=n;j++)
            {
                edge[index].x=i;
                edge[index].y=j;
                edge[index++].dis=(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]);
            }
        }
        sort(edge,edge+index);

        int maxE=;
        for(int i=;i<index;i++)
        {
            if(union_set(edge[i].x,edge[i].y))
            {
                if(find()==find())
                {
                    maxE=edge[i].dis;
                    break;
                }
            }
        }
        printf("Scenario #%d\n",cas++);
        printf("Frog Distance = %.3f\n\n",sqrt((double)maxE));
    }
}

使用并查集的Kruskal算法明显要好写一点。但是这题每两点之间必然有一条边，是一个稠密图，Prim算法更适合一些。下面是Prim算法的代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

struct Node
{
    int k,w;
    bool operator<(const Node& cmp) const
    {
        return w>cmp.w;
    }
} p,q;

bool vis[];
int x[],y[];
int first[],vv[],ww[],nxt[];

int main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);
    int n,cas=;
    while(~scanf("%d",&n) && n)
    {
        priority_queue <Node> pq;
        memset(vis,,sizeof(vis));
        memset(first,,sizeof(first));

        for(int i=;i<=n;i++)
            scanf("%d%d",x+i,y+i);

        int e=;
        for(int i=;i<=n;i++)
        {
            for(int j=i+;j<=n;j++)
            {
                nxt[e]=first[i],vv[e]=j;
                ww[e+]=ww[e]=(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])+(y[i]-y[j])*(y[i]-y[j]);
                first[i]=e++;
                nxt[e]=first[j],vv[e]=i;
                first[j]=e++;
            }
        }

        p.k=;
        p.w=;
        pq.push(p);

        int maxE=;
        while(!pq.empty())
        {
            p=pq.top();
            pq.pop();
            maxE=max(maxE,p.w);
            if(p.k==)
                break;
            if(vis[p.k])
                continue;
            vis[p.k]=true;

            for(int e=first[p.k];e;e=nxt[e]) if(!vis[vv[e]])
            {
                q.k=vv[e];
                q.w=ww[e];
                pq.push(q);
            }
        }

        printf("Scenario #%d\n",cas++);
        printf("Frog Distance = %.3f\n\n",sqrt((double)maxE));
    }
}

需要注意的是Kruskal算法最终的判定是起点和终点是否同一集合，如果是，最大距离就是最后一条边的距离。而prim算法的最大边需要实时更新，因为先选的边可能大于后来选择的边。搞笑的是Prim算法也是16MS，不知道是不是我写的效率有问题SF0_0。夜深人静的时候在去跑跑吧……