NYOJ 461

Fibonacci数列（四）

描述

 数学神童小明终于把0到100000000的Fibonacci数列（f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2)）的值全部给背了下来。
接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位（高4位）就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验小明说的是否正确。

输入

输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾结束。

输出

输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

样例输入

0
1
2
3
4
5
35
36
37
38
39
40

样例输出

0
1
1
2
3
5
9227
1493
2415
3908
6324
1023

这道题首先考虑如何产生前4位：

先看对数的性质,log_ab^c=c*log_ab ,log_a(b*c)=log_ab+log_ac;假设给出一个数10234432,
那么log₁₀(10234432)=log₁₀(1.0234432*10⁷)【用科学记数法表示这个数】=log₁₀(1.0234432)+7;
log₁₀(1.0234432)就是log₁₀(10234432)的小数部分.
log10(1.0234432)=0.010063744(取对数所产生的数一定是个小数)
再取一次幂:10^0.010063744=1.023443198，然后减去整数部分，剩下的就是小数部分，让取前4位，只需要将小数部分*1000就好了。

然后根据数学知识，有斐波那契数列的通项公式：

当然，这样是不够的，需要进一步加工。

log₁₀f(n)=n*log₁₀((1+√5)/2)-log₁₀√5+log₁₀(1-((1-√5)/(1+√5))ⁿ)  红色的部分随着n的增大快速的就趋近余0，是高阶无穷小. 可以忽略。

所以：log₁₀f(n) ≈n*log₁₀((1+√5)/2)-log₁₀√5

 #include<iostream>
 #include<stdio.h>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 int main(){
     int n,i,a[];
     double x,y,z,d;
     a[]=;
     a[]=;
     for(i=;i<;i++)
         a[i+]=a[i+]+a[i];

     while(scanf("%d",&n)!=EOF){
         if(n<=)
             cout<<a[n]<<endl;
         else{
             x=( log( ( 1.0+sqrt(5.0) ) /2.0 ) / log(10.0) )*n;
             y=( 0.5*log( 5.0 ) )/log(10.0);
             z=(x-y)-floor(x-y);                  //得到log f(n)的小数部分
             d=*pow(10.0,z );
             cout<<floor(d)<<endl;                 //取整数 

         }
     }
     return ;
 }