汉明码、海明校验码(Hamming Code)

基础知识
汉明码/海明校验码
- 计算

基础知识

码距：又叫海明距离，是在信息编码中，两个编码之间对应位上编码不同的位数。例如编码100110和010101，第1、2、5、6位都不相同，所以这两个编码的码距就是4，并且可以通过异或的方式求出（异或后计算零的个数）
奇偶校验(Parity Check)：一种校验代码传输正确性的方法，分为奇校验和偶校验两种方式，目的都是在一字节（8位二进制数）后面加上一个校验位（0或1），奇校验下前面8位和校验码的1的个数应为奇数个，偶校验为偶数个。公式表示为：

\[奇校验：G=\overline{C\oplus X_1\oplus X_2\oplus X_3\oplus ... \oplus X_n}\\
偶校验：G=C\oplus X_1\oplus X_2\oplus X_3\oplus ... \oplus X_n\\
G等于0表示数据正常，否则表示出错
\]

在实际中奇偶校验的选择是事先选择的。

奇偶校验的特点
1. 编码检错简单
2. 编码效率高
3. 不能检测偶数位错误，无错结论不可靠，是一种错误检测码
4. 也没法识别错误，更不能纠正错误，出错只能重新传

汉明码/海明校验码

海明码的构成方法是在数据位之间的确定位置上插入k个校验位，通过扩大码距来实现检错和纠错。

汉明码跟其它的错误校验码类似，也利用了奇偶校验位的概念。不过与奇偶校验码不同的是，它并不是指定长度字节后面加一位，而是通过计算关系：

\[2^k-1\ge n+k(在指定n的情况下，找到满足式子的最小的k)
\]

计算出指定数据位对应的校验位长度。其中n为数据位，k为校验位长度。

计算

设数据位是8位，那么通过式子$2^4-1=15>8+4=12$，则校验位为4位

设信息位为：D7,D6,D5,D4,D3,D2,D1,D0，校验位P3,P2,P1,P0，先计算校验位在总共12位的海明码中占据的位数：

$P0=2^0=1$
$P1=2^1=2$
$P2=2^2=4$
$P3=2^3=8$

所以校验位P3,P2,P1,P0分别占据第8、4、2、1位，而信息码从左到右占据剩下的位数，如表：

位数	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
信息位	D7	D6	D5	D4		D3	D2	D1		D0
校验位					P3				P2		P1	P0

注：这个表很多资料中其实是左右倒过来的，如果是倒过来的话就不用最后在倒置了

而信息位与校验位的关系为：信息位的位数=位数相加等于信息位位数的校验位组。例如D7的位数为12，所以D7的校验位组为P3和P2。

信息位	信息位检验计算	校验位组
D7	12=8+4	P3,P2
D6	11=8+2+1	P3,P1,P0
D5	10=8+2	P3,P1
D4	9=8+1	P3,P0
D3	7=4+2+1	P2,P1,P0
D2	6=4+2	P2,P1
D1	5=4+1	P2,P0
D0	3=2+1	P1,P0

所以，P0参与了D0,D1,D3,D4,D6的检验，其他由此类推：

$P0=D0\oplus D1\oplus D3\oplus D4\oplus D6$

$P1=D0\oplus D2\oplus D3\oplus D5\oplus D6$

$P2=D1\oplus D2\oplus D3\oplus D7$

$P3=D4\oplus D5\oplus D6\oplus D7$

注意：海明码是由高位到低位进行排序（高位先放，低位后方），所以得到的海明码是：P0 P1 D0 P2 D1 D2 D3 P3 D4 D5 D6 D7

而校验的方式则是算出信息的校验码，然后与得到的校验码对应，相同标0，不同标1（让01串异或成原来的样子），得到错误的位置为$P3^*P2^*P1^*P0^*$（$Pn^*$是标记）

python代码实现校验（这代码摸了快三天，代码水平还是得提高）

# -*- coding: utf-8 -*-

"""

Created on Fri Dec  3 21:59:38 2021

海明码解码纠错(默认只有一个错误)

@author: 01am

"""

#返回将列表里面的元素全部异或的值

def xor1(lista):

    j=lista[0]

    for i in range(1,len(lista)):

        j=j^lista[i]

    return j

a = input("请输入海明码:")

len_a = len(a)

k=0

#确定k的值

for i in range(1,len_a):

    tmp = pow(2,i)

    if tmp > len_a :

        k=i

        break

#循环创建校验位变量和校验位对应的数据位列表

for i in range(k):

    exec('P'+str(i)+'='+str(a[pow(2,i)-1]))

    exec('D'+str(i)+'=[]')

#循环创建数据位变量并确定是否与校验位有关

for i in range(len_a):

    #如果按照位数的二进制情况下查找1只有1个的情况下，那么一定是校验位

    if bin(i+1).count('1')==1:#加一是为了解决range从0开始而海明码从1开始的矛盾

        continue

    else:

        tmp1=bin(i+1)[-1:1:-1]#将二进制数翻转并且去掉0b，方便后面循环寻找相关的校验位

        for j in range(len(tmp1)):

            if tmp1[j]=='1' :#这里无需加一，因为校验位是从0开始的

                exec('D'+str(j)+'.append('+str(a[i])+')')

#新计算的纠错位和原校验位对比后的标志不准确

#判断校验位和计算出来的校验位是否一致

K=''

for i in range(k):

    exec('tmp2 = D'+str(i))  #这里的问题，不能写成tmp2 = exec('D'+str(i))，这样会让tmp2成为NoneType

    exec('tmp3 = P'+str(i))

    tmp4 = xor1(tmp2)  #这里可能会提示有变量未定义，不用理

    if tmp4 == tmp3 :  #这里可能会提示有变量未定义，不用理

        K+='0'

    else:

        K+='1'

tmp5 = K[::-1]#校验位的位置，如果全为零就不存在

#判断校验码是否存在，存在就把对应的位置修改

a=list(a)

if tmp5.find('1')!=-1:

    int1 = int(tmp5,2)-1

    a[int1]=str(int(a[int1])^1)

    print("已经自动纠错一位\n")

#输出不带校验码的字符串

b=''

c=[pow(2,i) for i in range(k)]

for i in range(len_a):

    if i+1 not in c:

        b+=a[i]

a=''.join(a)

print(a)

print(b)

参考：