HDU2082母函数模板题

找单词

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Problem Description

如果有x1个字母A。 x2个字母B,..... x26个字母Z。同一时候如果字母A的价值为1。字母B的价值为2,..... 字母Z的价值为26。那么，对于给定的字母。能够找到多少价值<=50的单词呢？单词的价值就是组成一个单词的全部字母的价值之和，比方，单词ACM的价值是1+3+14=18，单词HDU的价值是8+4+21=33。(组成的单词与排列顺序无关，比方ACM与CMA觉得是同一个单词）。

 

Input

输入首先是一个整数N。代表測试实例的个数。

然后包含N行数据，每行包含26个<=20的整数x1,x2,.....x26.

 

Output

对于每一个測试实例。请输出能找到的总价值<=50的单词数,每一个实例的输出占一行。

 

Sample Input

2
1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 2 6 2 10 2 2 5 6 1 0 2 7 0 2 2 7 5 10 6 10 2 10 6 1 9

 

Sample Output

7
379297

 

Source

field=problem&key=2006%2F1%2F15+ACM%B3%CC%D0%F2%C9%E8%BC%C6%C6%DA%C4%A9%BF%BC%CA%D4&source=1&searchmode=source" style="color:rgb(26,92,200); text-decoration:none">2006/1/15 ACM程序设计期末考试

知识点:

母函数(生成函数):

生成函数有普通型生成函数和指数型生成函数两种(本题是普通型)。

形式上，普通型母函数用于解决多重集的组合问题，

指数型母函数用于解决多重集的排列问题。

母函数还能够解决递归数列的通项问题（比如使用母函数解决斐波那契数列，Catalan数的通项公式）。

普通母函数：

构造母函数G(x), G(x) = a0 + a1*x + a2* +
a3* +....+
an*。 
则称G(x)是数列a0,a1…an的母函数。

通常普通母函数用来解多重集的组合问题，其思想就是构造一个函数来解决这个问题。一般步骤例如以下：

1.建立模型：物品n种,每种数量分别为k1,k2,..kn个，每种物品又有一个属性值p1,p2,…pn,(如本题的字母价值)，

求属性值和为m的物品组合方法数。

（若数量ki无穷
也成立。即相应以下式子中第ki项的指数一直到无穷）

2.构造母函数：G(x)=(1++…)(1+++…)…(1+++…)       
（一）

=a0 + a1*x + a2* +
a3* +....+
akk*    
(设kk=k1·p1+k2·p2+…kn·pn)  （二）

G(x)含义： ak 为属性值和为k的组合方法数。

母函数利用的思想：

1.把组合问题的加法法则和幂级数的乘幂相应起来。

2.把离散数列和幂级数相应起来。把离散数列间的相互结合关系相应成为幂级数间的运算关系，最后由幂级数形式来

确定离散数列的构造。

代码实现：

求G(x)时一项一项累乘。先令G=1=(1+0*x+0*+…0*),再令G=G*(1++…)得到形式(二)的式子…最后令G=G*(1+++…)。

题解：

1.建模：物品(字母)26种，每种数量x1,x2…x26。属性值为1,2,3..26,求属性值和<=50的组合方法数。

2.G(x)=(1++…)(1+++…)…(1++…)

#include <iostream>

#include <algorithm>

#include <stdio.h>

#include <string.h>





using namespace std;

int c1[100],c2[100];

int a[30];

int main()

{

    int t;

    cin >> t;

    while(t --)

    {

        for(int i = 1; i <= 26; i ++)

            cin >> a[i];

        memset(c1,0,sizeof(c1));

        memset(c2,0,sizeof(c2));

        c1[0] = 1;///初始化

        for(int i = 1; i <= 26; i ++)///相应26个多项式

        {

            for(int j = 0; j <= 50; j ++)   ///每一个多项式中相应的指数

                for(int k = 0; k <= a[i] && k * i + j <= 50; k ++)  ///k*i表示被乘多项式各项的指数

                    c2[j + k * i] += c1[j];

            memcpy(c1,c2,sizeof(c2));///c2数组的值赋值给c1

            memset(c2,0,sizeof(c2));///c2初始化

        }

        ///累加

        int sum = 0;

        for(int i = 1; i <= 50; i ++)

            sum += c1[i];

        cout << sum << endl;

    }

    return 0;

}