BZOJ 2277 Poi2011 Strongbox

题目大意：一个集合A，包含了0~n-1这n个数。另有一个集合B,满足：

　　　　　　1.B是A的子集。

　　　　　　2.如果a、b均在B中，则（a+b）%n也在B中（a=b亦可）

　　　　给出k个数a_i，前k-1个不在B中，第k个在B中，问B最大有几个元素。

数据范围:1<=k<=250000,k<=n<=1e14;

(以下x,y均代表互不相关的整数)

考虑集合B。

假设B中有一元素v。则方程 v*x-n*y=c(即v*x与c对n同余)当且仅当gcd(v,n)|c 时有正整数解x,y。

那么显然c=gcd(v,n)时方程有正整数解x,y。则v∈B->gcd(v,n)∈B……①

又因为方程 v*x+u*y=gcd(u,v)必有整数解x、y,所以根据B的特点2可得 u,v∈B->gcd(u,v)∈B……②

根据题意，（gcd(v,n)*x）%n也必在B中……③

由①、②，设B中所有数的最大公约数与n的最大公约数为g，则g必在B内且为B中最小正整数，又根据③，g,2*g,3*g,4*g……均在B中。有因为g是所有元素的最大公约数，所以B中不会再有别的元素。

以上，我们只要求出满足条件的最小g即可。g的限制条件如下：a_i%g!=0,gcd(n,a_k)%g==0。

最自然的想法是O(sqrt(gcd(n,a_k)))枚举g再对于每个g进行O(k)检验，显然会T。然后……我就不会做了……

根据机智的题解，到这一步我们有以下两种做法：

一、

对于1<=n<=1e14,n最多有17280个因子，那么我们发现g最多有17280个。将所有gcd(n,a_i)去重后，个数也会降到17280以下。这样效率就基本OK了。

 #include <bits/stdc++.h>
 #define ll long long
 using namespace std;
 const int sz=25e4+;
 ll k,a[sz],n,q;
 int l,len;
 ll gcd(ll a,ll b){
     return b?gcd(b,a%b):a;
 }
 bool ck(ll v){
     for(int i=;i<=l;i++)
         if(a[i]%v==)return ;
     return ;
 }
 int main(){
     scanf("%lld%lld",&n,&k);
     for(int i=;i<=k;i++){
         scanf("%lld",&a[i]);
         a[i]=gcd(a[i],n);
     }
     sort(a+,a+k);
     for(int i=;i<k;i++)
         if(a[i]!=a[i-])a[++l]=a[i];
     for(ll j=;j*j<=a[k];j++)if(a[k]%j==0){
         if(ck(j)){
             printf("%lld",n/j);
             return ;
         }
         if(ck(a[k]/j))q=a[k]/j;
     }
     printf("%lld",n/q);
     return ;
 }

二、

在某数学一本通上看到的，但是它的代码和说明蒟蒻我都没看懂，感兴趣的大佬可以看看这篇，貌似和某数学一本通一模一样，看懂的大佬好心的话来教教我。