BZOJ 2277 Poi2011 Strongbox
题目大意:一个集合A,包含了0~n-1这n个数。另有一个集合B,满足:
1.B是A的子集。
2.如果a、b均在B中,则(a+b)%n也在B中(a=b亦可)
给出k个数ai,前k-1个不在B中,第k个在B中,问B最大有几个元素。
数据范围:1<=k<=250000,k<=n<=1e14;
(以下x,y均代表互不相关的整数)
考虑集合B。
假设B中有一元素v。则方程 v*x-n*y=c(即v*x与c对n同余)当且仅当gcd(v,n)|c 时有正整数解x,y。
那么显然c=gcd(v,n)时方程有正整数解x,y。则v∈B->gcd(v,n)∈B……①
又因为方程 v*x+u*y=gcd(u,v)必有整数解x、y,所以根据B的特点2可得 u,v∈B->gcd(u,v)∈B……②
根据题意,(gcd(v,n)*x)%n也必在B中……③
由①、②,设B中所有数的最大公约数与n的最大公约数为g,则g必在B内且为B中最小正整数,又根据③,g,2*g,3*g,4*g……均在B中。有因为g是所有元素的最大公约数,所以B中不会再有别的元素。
以上,我们只要求出满足条件的最小g即可。g的限制条件如下:ai%g!=0,gcd(n,ak)%g==0。
最自然的想法是O(sqrt(gcd(n,ak)))枚举g再对于每个g进行O(k)检验,显然会T。然后……我就不会做了……
根据机智的题解,到这一步我们有以下两种做法:
一、
对于1<=n<=1e14,n最多有17280个因子,那么我们发现g最多有17280个。将所有gcd(n,ai)去重后,个数也会降到17280以下。这样效率就基本OK了。
#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int sz=25e4+;
ll k,a[sz],n,q;
int l,len;
ll gcd(ll a,ll b){
return b?gcd(b,a%b):a;
}
bool ck(ll v){
for(int i=;i<=l;i++)
if(a[i]%v==)return ;
return ;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&n,&k);
for(int i=;i<=k;i++){
scanf("%lld",&a[i]);
a[i]=gcd(a[i],n);
}
sort(a+,a+k);
for(int i=;i<k;i++)
if(a[i]!=a[i-])a[++l]=a[i];
for(ll j=;j*j<=a[k];j++)if(a[k]%j==0){
if(ck(j)){
printf("%lld",n/j);
return ;
}
if(ck(a[k]/j))q=a[k]/j;
}
printf("%lld",n/q);
return ;
}
二、
在某数学一本通上看到的,但是它的代码和说明蒟蒻我都没看懂,感兴趣的大佬可以看看这篇,貌似和某数学一本通一模一样,看懂的大佬好心的话来教教我。
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