[poi2011]bzoj 2277 —— strongbox·[洛谷3518]

·问题描述·

　　有一个密码箱，0到n-1中的某些数是它的密码。且满足：如果a和b都是它的密码，那么（a+b）%n也是它的密码。某人试了k次密码，前k-1次都失败了，最后一次成功。

　　问：该密码箱最多有多少个密码？

·输入格式·

　　输入第一行两个整数分别表示n，k。

　　第二行为k个用空格隔开的非负整数，表示每次试的密码。（数据保证存在合法解）

·输出格式·

　　输出一行一个数，表示结果。

·输入样例·

42 5

28 31 10 38 24

·输出样例·

14

·数据范围·

对于100%的数据：1<=k<=250000，k<=n<=10^14。

Solution：

　　本题考察数学。由题意可知，若x为密码则（x+x）%n为密码，则p*x%n（0<p<n）也为密码。而对于p*x%n=q，等价于p*x-n*c=q。

　　由引理：a*x+b*y=c（均为整数），有整数解的充要条件是gcd(a,b)|c。证明很容易：不妨设a=p*gcd(a,b),b=q*gcd(a,b) --> a*x+b*y=(p+q)*gcd(a,b)=c，显然要有整数解，则gcd(a,b)|c。

　　回到本题的条件：p*x-n*c=q。有解则必定满足gcd(x,n)|q，所以必定有p*x-n*c=gcd(x,n)成立，等价于p*x%n=gcd(x,n)，则gcd(x,n)一定为一个密码。类似的，对于不同的密码x和y，存在（p*x+q*y）%n为密码，由引理必定存在p*x+q*y=gcd(x,y)，与单个x是密码同理gcd(x,y)一定是密码。

　　而要使得密码最多，由x是密码则p*x%n（0<p<n）为密码可知，当x为最小时，密码最多有n/x个。

　　具体实现时，我们先求出a[k]=gcd(a[k],n)，再使a[i]=gcd(a[i],a[k])，然后从新的a[k]中删去所有是a[i]因子的因子，最后输出答案就是n除以没被删的最小的因子。

代码：

 /*数学一本通上的例题——by 520*/
 #include<bits/stdc++.h>
 #define il inline
 #define ll long long
 using namespace std;
 ll n,k,tot,a[],q[],p[],cnt=;
 il ll gi(){
     ll a=;char x=getchar();bool f=;
     while((x<''||x>'')&&x!='-')x=getchar();
     if(x=='-')x=getchar(),f=;
     while(x>=''&&x<='')a=a*+x-,x=getchar();
     return f?-a:a;
 }
 il ll gcd(ll a,ll b){return b?gcd(b,a%b):a;}
 int main()
 {
     freopen("strongbox.in","r",stdin);
     freopen("strongbox.out","w",stdout);
     n=gi(),k=gi();
     for(int i=;i<=k;i++)a[i]=gi();
     a[k]=gcd(a[k],n);
     for(int i=;i<k;i++)a[i]=gcd(a[k],a[i]);
     for(ll i=;i*i<=a[k];i++)
         if(a[k]%i==){
             q[++tot]=i;
             if(i*i!=a[k])q[++tot]=a[k]/i;
         }
     sort(q+,q+tot+);
     for(int i=;i<k;i++)p[lower_bound(q+,q+tot+,a[i])-q]=;
     for(int i=;i<=tot;i++)
         if(p[i])
             for(int j=;j<i;j++)
                 if(q[i]%q[j]==)p[j]=;
     while(p[cnt])cnt++;
     cout<<n/q[cnt];
     return ;
 }