【处理元组有关的题型的技巧】codeforces 1677 A. Tokitsukaze and Strange Inequality

题意

第一行输入一个正整数 \(T(1 \leq T \leq 1000)\)，代表共有 \(T\) 组测试用例，对于每组测试用例：

第一行输入一个正整数 \(n(4 \leq n \leq 5000)\)，第二行输入 \(n\) 个正整数 \(p_i(1 \leq p_i \leq n)\)。

对于 \(1 \leq i < j < k < l \leq n\)，若有 \(a_i < a_k，a_j > a_l\)成立，我们称 \([a_i, a_j, a_k, a_l]\) 是合法四元组。

你需要统计出合法四元组的数目。

题解

有关三元组、四元组之类的题型，通常先思考中间的数，再思考两端的数，是比较容易的思考方式。

观察数据范围，\(4 \leq n \leq 5000\)，因此时间复杂度只需要控制在 \(O(n^2)\) 及以内即可。

那不妨枚举 \(a_j\) 和 \(a_k\)，此时\(a_i\) ∈ {\(a_1, a_2, ..., a_{j-1}\)}，\(a_l\) ∈ {\(a_{k+1}, a_{k+2}, ..., a_{n}\)}。对于前 \(j - 1\) 个元素，使用插入排序进行维护，随后可以用二分法维护出满足 \(a_i < a_k\) 的数对数量。对于后 \(n-k\) 个元素，使用 \(cnt\) 统计满足 \(a_j > a_l\) 的数对数量，当 \(k\) 往后移动时，同步维护新的 \(cnt\)。

参考代码

void solve() {
    ans = 0LL;
    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; ++ i) cin >> a[i];
    for (int i = 1, j; i < n - 2; ++ i) {
        int cnt = 0;
        int itemp = a[i - 1];
        for (j = i - 2; j >= 0; -- j) {
            if (itemp < a[j]) a[j + 1] = a[j];
            else break;
        }
        a[j + 1] = itemp;
        for (j = i + 1; j < n; ++ j) cnt += a[i] > a[j];
        for (j = i + 1; j < n; ++ j) {
            cnt -= a[i] > a[j];
            if (!cnt) break;
            ans += (lower_bound(a, a + i, a[j]) - a) * cnt;
        }
    }
    cout << ans << '\n';
}