20241120 校内模拟赛 T3 题解

题目描述

给定一个数列 \(A\)，数列的元素取值范围为 \([1,m]\)。

请计算有多少个非空子区间满足以下条件：该区间内每个元素的出现次数都相同（没有出现的元素视为出现 \(0\) 次）。

例如，当 \(m=3\) 时，\([1,2,3]\) 和 \([1,1,3,2,3,2]\) 是满足条件的区间，而 \([1,2,2,3]\) 和 \([1,1,3,3]\) 不满足条件。

请计算数列 \(A\) 的满足条件的非空子区间数量。

输入格式

包含多组测试数据，第一行一个正整数 \(T\) 代表数据组数。

每组数据两行，第一行两个整数 \(n,m\)，代表序列长度和元素值域。

第二行 \(n\) 个整数，代表该序列，保证序列中的元素在 \([1,m]\) 之间。

输出格式

\(T\) 行，每行一个整数，代表对应组数数据的序列的满足条件的非空子区间个数。

样例

样例输入 1

1
6 3
1 2 3 1 2 3

样例输出 1

5

样例解释 1

有 \([1,3],[2,4],[3,5],[4,6],[1,6]\) 共 \(55\) 个。

样例输入 2

1
10 4
1 1 2 4 3 2 4 3 2 1

样例输出 2

3

样例解释 2

有 \([2,5],[1,8],[7,10]\) 共 \(33\) 个。

数据范围与提示

对于 \(100%\) 的数据, \(1≤T≤5,1≤n≤106,1≤m≤n\)。

测试点	\(n\)	\(m\)
\(1\)	\(≤50\)	\(≤50\)
\(2\)	\(≤300\)	\(≤300\)
\(3\)	\(≤3000\)	\(≤3000\)
\(4\)	\(≤7000\)	\(≤7000\)
\(5,6,7\)	\(≤7 × 10^4\)	\(≤300\)
\(8\)	\(≤3×10^5\)	\(≤3×10^5\)
\(9,10\)	\(≤10^6\)	\(≤10^6\)

解法说明

首先让我们考虑一下暴力的做法。记 \(f_{i,j}\) 为截至第 \(i\) 项数字 \(j\) 出现的次数，显然对于区间 \((l,r]\)，当且仅当 \(\forall i,j \in [1,m],f_{r,i}-f_{l,i}=f_{r,j}-f_{l,j}\) 时，该区间合法。

接下来考虑优化。这事实上等价于对 \(f_i\) 和 \(f_j\) 求差分数组，当二者差分数组相同时，该区间合法。此时原问题转化为维护每个位置 \(f\) 的差分数组的集合，寻找匹配数。可以使用类似异或哈希的技巧，求出每个位置 \(f\) 的差分数组的哈希值，从而快速求出答案。如此复杂度已足够优秀，可以拿到满分。

但从上文的异或哈希角度出发，还能得到一个更简单的做法。用梅森旋转生成 \(m-1\) 个数，分别作为 \(A_1\) 到 \(A_{m-1}\) 的哈希值，记其和的相反数为 \(A_m\) 的哈希值。令 \(id_i\) 表示 \(i\) 的哈希值，记 \(f_i=\sum_{j=1}^i id_{A_j}\)，当所有数出现次数相同时，其哈希值之和应为 \(0\)。即对于区间 \((l,r]\)，当且仅当 \(f_l=f_r\) 时，该区间合法。故 \(f\) 中的相同元素的对数即为原问题的答案。

通过代码

#include<bits/stdc++.h>

#define int long long//记得开long long
#define ull unsigned long long
const int N=1e6+10;

namespace IO{
    inline int read(){ int x=0,f=1;char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9'){ if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); } while(ch>='0'&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar(); return x*f; }
    inline void write(int x){ if(x>9) write(x/10); putchar(x%10+'0'); }
}using namespace IO;//快读快写

namespace code{
    int n,m,ans,id[N];
    ull a[N],sum;
    std::mt19937_64 random(time(0));//用梅森旋转算法生成高质量的伪随机数序列

    void solve(){
        n=read(),m=read(),ans=0,sum=0;//多测不清空，亲人两行泪
        for(int i=1;i<m;++i) id[i]=random(),sum+=id[i];//为第 1 到 m-1 项赋哈希值
        id[m]=-sum;//第 m 项的哈希值为前 m-1 项的哈希值的和的相反数
        for(int i=1;i<=n;++i) a[i]=a[i-1]+id[read()];//a[i] 表示第 1 到 i 项的哈希值的和
        std::sort(a,a+n+1);//排序，方便计算
        for(int i=1,cnt=1;i<=n;++i,++cnt,ans+=cnt-1) if(a[i]!=a[i-1]) cnt=0;//累加答案
        write(ans),putchar('\n');
    }
}

signed main(){
    int T=read();
    while(T--) code::solve();
    return 0;
}