TSP问题的不可近似性

\(\S\) 结论

TSP问题：n阶带权无向完全图中，找权值最小的哈密顿回路（无向图中遍历所有顶点的回路）

优化问题，记最优解为OPT

对于一般的n顶点TSP问题（非Metric），任意 多项式时间内可计算的函数f(n) 均不可近似，除非P = NP

已知 哈密顿回路存在性判定 是经典的NPC问题；f(n)举例：\(f(n) = 2^n\)

\(\S\) 证明

思路

去证假设有那么个f(n)的近似比存在，则可在多项式时间内求解哈密顿回路这个NPC问题，则P = NP

具体过程

（从NPC问题实例出发归约到TSP问题）

对于一个n顶点哈密顿回路的实例，我们在此基础上构造一张完全图：

• 对于原实例图中已有的边，定义权重为\(1\)
• 对于原实例图中没有的边，定义权重为\(nf(n)\) （\(f(n)\)多项式时间内可计算，且因为是近似比，\(f(n)>1\)）

构造的新图即为n顶点的TSP问题。则对于新图，可分析：

• 原实例图存在哈密顿回路 \(\Leftrightarrow\) 新图中至少有那个哈密顿回路，且必然权重最小，所以\(OPT = n\)；
• 原实例图没有哈密顿回路 \(\Leftrightarrow\) 新图必然要用到新加的权重为\(nf(n)\)的边，所以\(OPT > nf(n)\);

NPC问题归约后的两种情况出现了Gap，且这个Gap无法被近似比逾越！

那如果n顶点TSP问题有某个 近似比为f(n) 的近似算法，那不妨对新图使用该算法：

• 若\(OPT = n\)，则根据定义，得到的解 \(cost \leq nf(n)\)
• 若\(OPT > nf(n)\)，则得到的解 \(cost > OPT > nf(n)\)

由于不存在其他的OPT情况(有Gap)，所以反向推导也成立。即我们可以通过该近似算法，在多项式时间内判断原实例图是否存在哈密顿回路，即解决了NPC问题，即P = NP

得证

\(\S\) 总结：引入Gap的归约

记L为NPC判定问题（L is NP-complete Language），P为某个优化问题(an optimization problem)

从L到P的 引入Gap的归约（Gap-introducing reduction），会伴生两个函数\(f\)和\(\alpha\)的，对于L的某个实例x，他们可以在多项式时间内输出P的某个实例I，满足

①P为最小化的优化问题，\(\alpha(|I|) \geq 1\)：

• \(x \in L \Rightarrow OPT \leq f(I)\)
• \(x \notin L \Rightarrow OPT > \alpha(|I|) \cdot f(I)\)

②P为最大化的优化问题，\(\alpha(|I|) \leq 1\)：

• \(x \in L \Rightarrow OPT \geq f(I)\)
• \(x \notin L \Rightarrow OPT < \alpha(|I|) \cdot f(I)\)