BSGS-BabyStepGiantStep算法+拓展

学习数学真是一件赛艇的事.

BSGS名字听起来非常有意思,力拔山兮气盖世,北上广深,小步大步...算法其实更有意思,它是用来求解一个方程的

A^x ≡ B (mod P)

是不是特别眼熟,有几个式子长的特别像,先观察一下:

一:快速幂:      求A^B mod P的值

二:乘法逆元 　　A*x ≡ 1 (mod P)

　　    或者       A*x ≡ B (mod P)

三:欧拉定理       A^φ(P) ≡ 1 (mod P)    (A,P互质)

四:费马小定理    A^(P-1) ≡ 1 (mod P)   (P是质数)

先说下这四者关系:快速幂可以快速求后三个,费马小定理是欧拉定理的特殊情况,逆元可以通过费马小定理和快速幂解

可如果有这样的一个式子:

A^x ≡ B (mod P)      我们先假设A,P互质

好像和这四个式子都很像,所以呢?所以呢?

当年我们证明费马小定理的时候发现这个x的范围是在[0,p-1]之间

那么我们就可以枚举x从0到p-1,复杂度为O(P);

应该能拿上30分

接下来就是一波骚操作:我们令 m = ⌈ √P ⌉ ,然后就可以设 x = i*m+j ,其中i=x/m ,j=x%m,把x代入原来的式子可以得到 A ^ ( i*m+j ) ≡ B ( mod P ) 两边乘上一个 A^(-i*m),就可以得到 A ^ j  ≡ B * A ^ ( -i*m ) ( mod P )

所以呢?

所以就可以求了啊

我们只要枚举左边的j,把左边的答案和j存起来 left_ans [ j ] = A ^ j % P   (可是存不下怎么办,哈希蛤一下就存下了)然后再枚举右边的 i,计算右边的值,看看我们右边的值是否在数组里出现过,如果出现过那么我们通过i和j找到的 i*m+j 就是一个答案了

然后就会发现复杂度被我们开了一个方

冷静分析:

这个算法先枚举j需要√P的时间,再枚举i需要√P的时间,不过枚举i是要算下逆元需要log2(P)的时间,看起来复杂度=O(√P+√P*log2(P))=O(√P*log2(P)), 不过我们再看看右边的式子:  B * A ^ ( -i*m )  mod P = B * A^i * A^(-m)  mod P = A * B * A^(i-1) * A^( -m ) mod P.然后我们就得到右边的递推式,只要先求出 A^(-m) % p 就可以O(1)计算右边的式子了,其中A^(-m)%P=A^(P-1-m)%P,因为费马小定理...,所以复杂度被我们降到了O(√P+log2(P)+√P)=O(√P)

灼热分析:

算法的思想其实就是分块,把x分成√P*√P的块,会到设x的式子,x=i*m+j,我们先Baby_Step枚举小的j,再Giant_Step枚举大的i,名字听起来很形象哈哈哈哈哈哈.因为先枚举小的,后枚举大的,所以当出现i满足条件时,可以保证此时答案是最小的正整数解,这时直接return i*m+j

科学分析:

哈希好用呐~之前懒得用哈希,总觉得用STL的map能省很多事,然后就很尴尬的调了两天...一直TLE,最后绝望的手写了哈希表,然后居然就p+的A掉了,千万别用map,千万别用map,千万别用map,STL里面的玄学操作看起来很好用,我们最好还是乖乖学一学正常操作,老老实实手写哈希....

然后看看代码

 #include<cstdio>
 #include<cstring>
 #include<algorithm>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 #define ll long long
 const int mod=;
 int hcnt=,head[mod+];
 struct Haha{
     int val,id,next;
 }hash[mod+];
 void insert(int x,int pos){
     int k=x%mod;
     hash[++hcnt].val=x;
     hash[hcnt].id=pos;
     hash[hcnt].next=head[k];
     head[k]=hcnt;
 }
 int find(int x){
     int k=x%mod;
     for(int i=head[k];i;i=hash[i].next){
         if(hash[i].val==x) return hash[i].id;
     }
     return -;
 }
 ll ksm(int a,int b,int p){
     int x=a;
     ll ret=;
     if(b<) return -;
     while(b){
         if(b&) ret=1ll*(ret*x)%p;
         b>>=;
         x=1ll*x*x%p;
     }
     return ret;
 }
 int BSGS(int a,int b,int p){
     int m=(int)(sqrt(p)+0.999999);
     if(b==) return ;
     if(a==b) return ;
     if(!b){
         if(!a) return ;
         return -;
     }
     ll x=;
     for(int i=;i<=m;++i){
         x=x*a%p;
         insert(x,i);
     }
     ll inv=;
     int inv2=ksm(a,p-m-,p)%p;
     for(int i=;i<m;++i){
         int k=i*m;
         if(inv==-) return -;
         int ans=inv*b%p;
         int jgy=find(ans);
         if(~jgy){
             return k+jgy;
         }
         inv=1ll*inv*inv2%p;
     }
     return -;
 }
 void init(){
     for(int i=;i<mod;++i){
         hash[i].val=-;
         hash[i].next=;
         hash[i].id=;
     }
     memset(head,,sizeof(head));
     hcnt=;
 }
 int main(){
     int a,b,p;
     while(~scanf("%d%d%d",&p,&a,&b)){
         init();
         int dove=BSGS(a,b,p);
         if(~dove) printf("%d\n",dove);
         else printf("no solution\n");
     }
     return ;
 }

当A和P互质的情况大概就是这样