求解LCA问题的几种方式

这篇随笔讲解图论中LCA问题（最近公共祖先）的几种求解方式及实现方法。LCA问题属于高级图论，所以希望读者学习过初级图论，知道图的一些基本知识，并懂得深搜算法的实现方式。这样理解本篇博客将会快捷、舒适。

知识准备

理解LCA问题，理解节点深度是至关重要的，大家可以画一棵树。在一棵树中，所有的节点都有一个深度。根节点的深度是1，其他节点的深度可以用深搜遍历树来处理出来。这样，我们就可以通过深度数组来实现解决LCA问题的算法。

朴素LCA算法

朴素LCA算法的实现过程大约是这样：对于询问的两个点$x,y$，先判断两个点谁更深一些，然后把更深的点顺着它的父节点一步步往上提升，直到和$y$点的深度相等为止。然后同时提升$x,y$两点，直到这两个点变成同一个点，这时的那个点就是我们要求的LCA。

根据这个算法实现的特点，我们叫他“爬一爬”算法。这种算法极容易理解，但是奇慢无比。所以我们就不给代码了。

倍增LCA算法

刚刚提到的LCA朴素算法比较好理解，但是奇慢无比。所以我们推出了更高级一点的方法：倍增LCA。倍增思想其实是非常好用的一种优化思想，在算法优化中有很多使用实例。比如RMQ问题的暴力方法用倍增优化之后就变成了ST表（ST算法），比如LCA的爬一爬算法用倍增优化之后就变成了倍增LCA算法。

所谓倍增LCA，其实很好理解，就是原来的朴素算法是一个一个爬，我们现在变成一次爬$2^k$个，这样就会大大优化复杂度。

实现的步骤并没有任何变化：都是先爬比较小的那个，后一起爬。但是这个时候我们就要处理一个二维数组f。$f[x][k]$表示$x$的第$2^k$辈的祖先是谁。这样，我们就可以得出一个递推式：

\[f[x][k]=f[f[x][k-1]][k-1]
\]

需要说明的是，这里需要提前处理出f数组和deep数组，对于这种操作，我们可以在树上进行深搜来实现。

模板如下：

void dfs(int x,int f)

{

    deep[x]=deep[f]+1;

    fa[x][0]=f;

    for(int i=1;(1<<i)<=deep[x];i++)

        fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];

    for(int i=head[x];i;i=nxt[i])

    {

        int y=to[i];

        if(y==f)

            continue;

        dfs(y,x);

    }

}

应该是很好理解的：$x$的第$2^k$辈的祖先就等于$x$的第$2^{k-1}$辈的祖先的第$2^{k-1}$辈的祖先。

（其实这是个动态规划的过程）

剩下的就是一些细节问题。请大家多多注意，以后求LCA问题的时候根据不同的题目要求，就改这个模板即可。

代码：

int lca(int x,int y)

{

	int ret;

	if(deep[x]<deep[y])

		swap(x,y);

	for(int i=20;i>=0;i--)

		if(deep[fa[x][i]]>=deep[y])

			x=fa[x][i];

	if(x==y)

		return y;

	for(int i=20;i>=0;i--)

	{

		if(fa[x][i]!=fa[y][i])

		{

			x=fa[x][i];

			y=fa[y][i];

		}

		else

			ret=fa[x][i];

	}

	return ret;

}