[luogu 4240] 毒瘤之神的考验
题目背景
Salamander的家门口是一条长长的公路。
又是一年春天将至,Salamander发现路边长出了一排毒瘤!
Salamander想带一些毒瘤回家,但是,这时毒瘤当中钻出来了一个毒瘤之神!
毒瘤之神:你想要带毒瘤走吗?想要带走毒瘤,就必须回答我的问题!如果答不出来的话,你还是乖乖回家吧!
题目描述
毒瘤之神会问T次,每次给定n,m,Salamander需要回答出\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\ mod\ 998244353\)。
Salamander这么辣鸡当然不会做啦,于是把问题丢给了你。
输入输出格式
输入格式:
第一行包含一个正整数T。
接下来T行,每行包含两个正整数,用空格隔开,表示这次询问的n,m。
输出格式:
包含T行每行一个整数表示答案。
输入输出样例
输入样例#1:
3
1 1
2 2
3 3
输出样例#1:
1
5
19
Solution
神奇的反演题。。
首先有一个比较显然的性质:
\]
证明对于每个质因子考虑就行了。
然后带进去莫比乌斯反演:
ans=&\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^m\frac{\varphi(i)\varphi(j)\gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\\
=&\sum_{T=1}^{\min(n,m)}\sum_{d|T}\frac{d}{\varphi(d)}\cdot \mu(\frac{T}{d}) \sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor}\varphi(iT)\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{m}{T}\rfloor}\varphi(jT)
\end{align}
\]
设:
\]
显然这玩意可以\(O(n\log n)\)预处理出来。
对于后面那个,设:
\]
然后因为\(n\cdot T\leqslant 1e5\),所以总共只有\(O(n\log n)\)个值,动态开内存预处理出来就行。
答案变成了:
\]
答案是一个数论分块的形式,设:
\]
然后我们预处理出\(n,m\leqslant B\)的值,这里先设一个\(B\)出来,现在并不知道他是多少。
然后分析下复杂度,此时\(ans\)里的\(T\geqslant n/B\),所以对于\(T \leqslant n/B\)的直接暴力来算出就好了,剩下的数论分块之后利用\(h\)减一下就好了。
时间复杂度为\(O(n\log n+B^2n+T(\sqrt{n}+\lfloor\frac{n}{B}\rfloor))\)。
取最小值即\(B^2n=T\cdot \frac{n}{B}\),解得\(B=\sqrt[3]{T}\thickapprox 30\)。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('\n');}
#define pb push_back
const int maxn = 1e5+10;
const int B = 30;
const int mod = 998244353;
int pri[maxn],mu[maxn],vis[maxn],tot,f[maxn],phi[maxn],inv[maxn];
vector <int > g[maxn],h[B+1][B+1];
void prepare(int n) {
mu[1]=inv[1]=phi[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) mu[i]=-1,pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=n;j++) {
vis[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0) {phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];break;}
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
phi[i*pri[j]]=phi[i]*(pri[j]-1);
}
inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
}
for(int d=1;d<=n;d++)
for(int T=d;T<=n;T+=d)
f[T]=(f[T]+1ll*d*inv[phi[d]]%mod*mu[T/d])%mod;
for(int i=0;i<=n;i++) g[0].pb(0);
for(int i=1;i<=n;i++) {
int l=(n/i);g[i].pb(0);
for(int j=1;j<=l;j++)
g[i].pb((g[i-1][j]+phi[i*j])%mod);
}
for(int i=1;i<=B;i++)
for(int j=1;j<=B;j++) {
int l=min(n/i,n/j);h[i][j].pb(0);
for(int k=1;k<=l;k++)
h[i][j].pb((h[i][j][k-1]+1ll*f[k]*g[i][k]%mod*g[j][k]%mod)%mod);
}
}
void solve() {
int n,m;read(n),read(m);if(n>m) swap(n,m);
int ans=0;
for(int i=1;i<=m/B;i++) ans=(ans+1ll*f[i]*g[n/i][i]%mod*g[m/i][i]%mod)%mod;
int T=m/B+1;
while(T<=n) {
int pre=T;T=min(n/(n/T),m/(m/T));
ans=(1ll*(ans+h[n/T][m/T][T])-h[n/T][m/T][pre-1])%mod;T++;
}write((ans+mod)%mod);
}
int main() {
prepare(100000);
int t;read(t);
while(t--) solve();
return 0;
}
[luogu 4240] 毒瘤之神的考验的更多相关文章
- luogu 4240 毒瘤之神的考验 (莫比乌斯反演)
题目大意:略 题面传送门 果然是一道神duliu题= = 出题人的题解传送门 出题人的题解还是讲得很明白的 1.关于$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m ...
- 洛谷 P4240 毒瘤之神的考验 解题报告
P4240 毒瘤之神的考验 题目背景 \(\tt{Salamander}\)的家门口是一条长长的公路. 又是一年春天将至,\(\tt{Salamander}\)发现路边长出了一排毒瘤! \(\tt{S ...
- P4240 毒瘤之神的考验
题目 P4240 毒瘤之神的考验 神仙题\(emmm\) 前置 首先有一个很神奇的性质: \(\varphi(ij)=\dfrac{\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)}{\var ...
- 洛谷 P4240 - 毒瘤之神的考验(数论+复杂度平衡)
洛谷题面传送门 先扯些别的. 2021 年 7 月的某一天,我和 ycx 对话: tzc:你做过哪些名字里带"毒瘤"的题目,我做过一道名副其实的毒瘤题就叫毒瘤,是个虚树+dp yc ...
- Luogu 4240:毒瘤之神的考验
传送门 Sol 分开考虑 \(\varphi(ij)\) 中 \(ij\) 的质因子 那么 \[\varphi(ij)=\frac{\varphi(i)\varphi(j)gcd(i,j)}{\var ...
- 从 [P4240 毒瘤之神的考验] 谈 OI 中的美学
感觉这题真的特别有意思,涉及了 OI 中很多非常有意思.非常美的手法,比如--平衡两部分的时间复杂度.\(n \ln n\) 的那个 Trick等等,真的一种暴力的美学. 题目大意: 多组询问,求 \ ...
- 洛谷P4240 毒瘤之神的考验 【莫比乌斯反演 + 分块打表】
题目链接 洛谷P4240 题解 式子不难推,分块打表真的没想到 首先考虑如何拆开\(\varphi(ij)\) 考虑公式 \[\varphi(ij) = ij\prod\limits_{p | ij} ...
- luogu4240 毒瘤之神的考验(毒瘤乌斯反演)
link 题意:求出\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\),对998244353取模 多组数据,\(T\le 10^4,n,m\le 10^5\). 前置知识: ...
- Luogu4240 毒瘤之神的考验 莫比乌斯反演、根号分治
传送门 首先有\(\varphi(ij) = \frac{\varphi(i) \varphi(j) \gcd(i,j)}{\varphi(\gcd(i,j))}\),把欧拉函数的定义式代入即可证明 ...
随机推荐
- UISearchController(使用)
效果图1 效果图2 其实一般是在第一种情况使用的UISearchController,但是第二种情况这种又懒得去用uisearchbar+uitableview等等去处理, 其实主要是对数据源的合理使 ...
- 爬虫学习(十五)——json解析
json与jsonpath 对象{}:jsonobject 对象:对象在js中表现为{}括起来的内容,数据结构为{key:value,key:value...}键值对的结构,在面向对象的结构中,key ...
- h5页面苹果端浮动问题
最近在开发一个h5的app端,前端同事写好页面,我们后端java动态化页面,测试的时候发现安卓端什么浏览器都正常如下图1,可是苹果端无论什么浏览器都出现了底部菜单缺少了两个下图2图一:正常显示 图2, ...
- 虚拟机无法ping通物理机的解决方案
环境:Windows7下安装虚拟机,虚拟机上装有Ubuntu16.04的server版系统. 1.打开Windows防火墙,在打开或关闭Windows防火墙中 关闭Windows的防火墙. 2.禁用服 ...
- cookie操作和代理
cookie操作 爬取豆瓣个人主页 # -*- coding: utf-8 -*- import scrapy class DoubanSpider(scrapy.Spider): name = 'd ...
- caioj:1093: 并查集2(scy的删边问题) C++
题目描述 [题目描述] 读入一个无向图(可能含有多个连通分支),输出最多能删掉多少条边,而不改变这个图任意两点的连通性(原来连通的两个点依然连通,不连通的依然不连通). [输入格式] 第一行为图的顶点 ...
- Python os.walk() 简介
Table of Contents 1. os.walk目录遍历 1.1. os.walk 1.2. 例子 1.2.1. 测试topdown 1.2.2. 运行时修改遍历目录 2. 参考资料 os.w ...
- 15.8,redis-cluster配置
为什么要用redis-cluster 1.并发问题 redis官方生成可以达到 10万/每秒,每秒执行10万条命令假如业务需要每秒100万的命令执行呢? 2.数据量太大 一台服务器内存正常是16~ ...
- 我教你怎么玩转git
我教你怎么玩转git 1.想要练习解决冲突? 很好办.创建本地分支,a,b, a上面,这样改.b上面那样改. 然后你就解决冲突就可以了. 可以merge 或者cheerypick 2.想要玩一个不要历 ...
- 9path 导致的一场冤假错案
今天做对话框开发,遇到一个问题,就是弹出来的对话框太丑了.如图: 大家都是warp_content, 前面几个就是真的wrap_coment了.只有最后一个还可以看.后来自己找代码,写的都一样,就去问 ...