雅礼集训 Day6 T1 Merchant 解题报告

Merchant

题目描述

有\(n\)个物品，第\(i\)个物品有两个属性\(k_i,b_i\)，表示它在时刻\(x\)的价值为\(k_i\times x+b_i\).

当前处于时刻\(0\)，你可以选择不超过\(m\)个物品，使得存在某个整数时刻\(t,t≥ 0\)，你选择的所有物品的总价值大于等于\(S\).

给出\(S\)，求\(t\)的最小值。

输入输出格式

输入格式

第一行三个整数\(n,m,S\).

接下来\(n\)行，第\(i\)行两个整数\(k_i,b_i\).

输出格式

一行一个整数表示答案.

数据范围

对于所有数据，有\(1\le m\le n\le 10^6,-10^9 \le b_i \le 10^9,-10^6 \le k_i \le 10^6,0 \le S \le 10^{18}\).

数据保证有解，且答案不超过\(10^9\)。

• \(\text{Subtask}1(22\%)\), \(n ≤ 20\).
• \(\text{Subtask}2(36\%)\), \(n ≤ 10^5\),\(0 ≤ k_i ≤ 10^4\).
• \(\text{Subtask}3(8\%)\), \(k_i ≤ 0\).
• \(\text{Subtask}4(12\%)\), \(n ≤ 10^5\).
• \(\text{Subtask}5(22\%)\), 没有特殊的约束。

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一开始大家都想二分\(t\)

但很快发现这样是不对哒

可事实上又是可以哒

\(t\)的造成的最大的可取集合在值域上要么单调增，要么先单减后单增。

对于后者，我们先判\(0\)，然后二分就行了

发现这样如果sort是\(nlognlog1e9\)哒

但找第k大可以\(O(n)\)

实现是快排只进入一边

可以用\(nth\_element\)

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Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
const int N=1e6+10;
int n,m;
ll k[N],b[N],d[N],S;
ll read()
{
    ll x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-f;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') {x=x*10+c-'0';c=getchar();}
    return x*f;
}
bool check(ll t)
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i]=k[i]*t+b[i];
    std::nth_element(d+1,d+n-m,d+1+n);
    ll sum=0;
    for(int i=n;i>n-m;i--)
    {
        sum+=d[i]>0?d[i]:0;
        if(sum>=S) return true;
    }
    return false;
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    S=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        k[i]=read(),b[i]=read();
    ll l=0,r=1e9;
    if(check(l)) return puts("0"),0;
    while(l<r)
    {
        ll mid=l+r>>1;
        if(check(mid)) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    printf("%lld\n",l);
    return 0;
}

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2018.10.6