洛谷P5279 [ZJOI2019]麻将
https://www.luogu.org/problemnew/show/P5279
以下为个人笔记，建议别看：
首先考虑如何判一个牌型是否含有胡的子集。先将牌型表示为一个数组num，其中num[i]表示牌i出现了几张。
先判七对子（略）。
然后做一个dp。（后面的算法不支持"在最后(i接近n时)进行特判的dp"，如果"在开始(i为1,2,3时)进行特判"也可能难以实现，因此可能需要改进一下dp。）
ans[i][j][k][l]表示考虑前i种花色的牌，是否预留了对子（j为1有,j为0无），顺子(i-1,i,i+1)取k个，顺子(i,i+1,i+2)取l个，把剩余的第1~i种的牌都尽量组成刻子，最多能得到多少个面子（这些顺子自身的贡献要等取到最大的那个数时再算，可以避免一些边界处理，比如不会出现(1,0,-1),(n+1,n,n-1)之类的顺子）。由于3个相同的顺子等同于3个刻子，只需要考虑0<=k<=2,0<=l<=2即可。当且仅当ans[n][1][0..2][0..2]的最大值>=4时牌可以胡。（转移略）
可以得到这样一个暴力
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull; inline void setmax(int &a,int b)
{
if(a<b) a=b;
} int num[],n;
inline char judge()
{
int t1=,i,k,l,tt,ed;
for(i=;i<=n;++i)
if(num[i]>=)
++t1;
if(t1>=) return ;
static int ok[][][][];
memset(ok,,sizeof(ok));//(i-1,i,i+1)->k,(i,i+1,i+2)->l
ok[][][][]=;
for(i=;i<n;++i)
{
for(k=;k<=;++k)
{
for(l=;l<=;++l)
{
ed=min(,num[i+]-k-l);
for(tt=;tt<=ed;++tt)
{
setmax(ok[i+][][l][tt],ok[i][][k][l]+k+(num[i+]-k-l-tt)/);
setmax(ok[i+][][l][tt],ok[i][][k][l]+k+(num[i+]-k-l-tt)/);
}
ed=min(,num[i+]-k-l-);
for(tt=;tt<=ed;++tt)
{
setmax(ok[i+][][l][tt],ok[i][][k][l]+k+(num[i+]-k-l-tt-)/);
}
}
}
}
int ans=;
for(k=;k<=;++k)
for(l=;l<=;++l)
setmax(ans,ok[n][][k][l]);
return ans>=;
}
const int md=;
#define addto(a,b) ((a)+=(b),((a)>=md)&&((a)-=md))
int fac[],ifac[];
int ans;
/*
ull ttttt[555];
void out()
{
for(int i=1;i<=200;++i)
printf("%llu ",ttttt[i]);
puts("");
int t;
scanf("%d",&t);
}
*/
void dfs(int p,int ddd)
{
if(judge())
{
addto(ans,ull(p)*ddd%md*fac[*n--p]%md);
/*
ttttt[p]+=ddd;++ttttt[0];
if(ttttt[0]%10000==0)
{
out();
}
*/
//if(p<10)
//printf("%d\n",p);
return;
}
for(int i=;i<=n;++i)
if(num[i]<)
{
++num[i];
dfs(p+,ull(ddd)*(-num[i])%md);
--num[i];
}
}
int poww(int a,int b)
{
int ans=;
for(;b;b>>=,a=ull(a)*a%md)
if(b&)
ans=ull(ans)*a%md;
return ans;
}
int main()
{
/*
int i,w,t;
scanf("%d%d",&n,&t);
for(i=1;i<=t;++i)
{
scanf("%d",&w);
++num[w];
}
printf("%d\n",int(judge()));
*/
int i,w,t;
fac[]=;
for(i=;i<=;++i)
fac[i]=ull(fac[i-])*i%md;
ifac[]=poww(fac[],md-);
for(i=;i>=;--i)
ifac[i-]=ull(ifac[i])*i%md;
scanf("%d",&n);
for(i=;i<=;++i)
{
scanf("%d%d",&w,&t);
++num[w];
}
dfs(,);
printf("%llu\n",ull(ans)*ifac[*n-]%md);
//out();
return ;
}
可以根据这个dp建成一个类似自动机的东西。自动机上的状态(点)可以当做一个三维数组再加上一个数字，三维就是就是ans的后三维，数组的元素就是在那三维的条件下最多凑出的面子数，加上的数字是"有多少种数字的牌可以凑出对子"（为了把七对子的统计放进自动机）。转移边就是根据dp的转移来连。对于起始状态，显然额外数字为0，设数组为a，则数组中只有a[0][0][0]=0，其余全为-inf。可以用和开头一样的方法判断一个状态是否是胡牌状态。为了方便，可以把所有胡牌的状态合并成一个状态，它的所有转移边都指向自身。
爆搜一下，可以发现这个自动机的状态并不是很多（不知道为什么）。爆搜的方法就是搞一个bfs，队列中一开始只有初始状态，每次从队列首部取出一个状态，枚举下一个数牌数量是0/1/2/3/4进行转移，得到它的后继状态。如果后继状态胡了：直接向某一个钦点的结束状态连边连边。如果后继状态没有胡：如果没有遍历过后继状态就建立后继状态对应的点并连边，然后将后继状态加入队列，否则直接向后继状态连边。判断后继状态是否遍历过可以强行搞一个map之类的。为了复杂度对，需要让数组中各个值对4取min，额外数字对7取min（这一步的确是有必要的，因为可能a[0]里面有很大的数字，但是a[1]里面都很小，虽然有很大数字，仍然不能胡牌，导致有无限个状态）
如何根据这个自动机计算答案？（以下“能胡”指存在一个子集胡牌）
最终的答案=所有方案胡牌巡数的平均值=所有方案胡牌巡数总和/方案数
此处的一种方案：给剩余的未摸进来的牌每张一个(a,b)的编号，表示数字为a的第b张牌；对于这些(a,b)对的任意一个排列就是一种方案。
先算所有方案胡牌巡数总和。把每个方案拆开，拆成没胡牌前每一巡1的贡献，胡牌那一巡1的贡献，两者分开考虑。对于两个部分，都将所有方案一起考虑。对于第一部分，每一巡分开考虑，相当于每一巡的贡献是这一巡有多少方案不能胡。对于第二部分，由于所有牌摸进来必定能胡，贡献就是方案数。
胡牌巡数总和除以方案数，得到答案=$\frac{\sum_{i=1}^{4n-13}额外摸i张牌不能胡的方案数}{总方案数}+1$
怎么算这个东西？首先，总方案数等于$(4n-13)!$
dp一下，ans[i][j][k]表示考虑前i种牌，额外摸了j张，当前在自动机上状态是k的方案数（考虑最终答案，额外摸i张牌不能胡的方案，相当于先从所有(a,b)对中选出i个，让它们作为前i张摸上来的牌，如果它们不能胡，则产生贡献i!(4n-13-i)!；因此此处的一种方案定义为从前i种牌产生的所有(a,b)对中选出j个，最后统计答案时ans[n][j][k]只有当k!=T时才产生贡献，对答案的贡献要乘上j!(4n-13-j)!）（转移略）
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<map>
using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define mp make_pair
#define pb push_back
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int md=;
#define addto(a,b) ((a)+=(b),((a)>=md)&&((a)-=md))
inline void setmax(int &a,int b)
{
if(a<b && b>=) a=b;
}
inline void setmin(int &a,int b)
{
if(a>b) a=b;
}
struct st
{
int a[][][],b;
};
inline bool operator<(const st &a,const st &b)
{
/*
int t=memcmp(a.a,b.a,sizeof(a.a));
if(!t) return a.b<b.b;
else return t<0;
*/
for(int i=;i<=;++i)
for(int j=;j<=;++j)
for(int k=;k<=;++k)
if(a.a[i][j][k]!=b.a[i][j][k])
return a.a[i][j][k]<b.a[i][j][k];
return a.b<b.b;
}
inline bool judge(const st &a)
{
if(a.b>=) return ;
int j,k;
for(j=;j<;++j)
for(k=;k<;++k)
if(a.a[][j][k]>=)
return ;
return ;
}
inline void nxt_state(const st &a,st &b,int x)
{
b.b=min(,a.b+(x>=));
memset(b.a,,sizeof(b.a));
int i,j,k;
for(i=;i<=;++i)
for(j=;j<=;++j)
{
for(k=;k<=min(,x-i-j);++k)
{
setmax(b.a[][j][k],a.a[][i][j]+i+(x-i-j-k)/);
setmax(b.a[][j][k],a.a[][i][j]+i+(x-i-j-k)/);
}
for(k=;k<=min(,x-i-j-);++k)
{
setmax(b.a[][j][k],a.a[][i][j]+i+(x-i-j-k-)/);
}
}
for(i=;i<=;++i)
for(j=;j<=;++j)
{
setmin(b.a[][j][k],);
setmin(b.a[][j][k],);
} }
map<st,int> ma;
int trans[][];
/*
struct E
{
int to,nxt;
}e[200011];
int f1[10011],ne;
inline void me(int x,int y)
{
e[++ne].to=y;e[ne].nxt=f1[x];f1[x]=ne;
}
*/
int mem,S,T;st ta[];
/*
void out()
{
printf("%d %d\n",S,T);
for(int i=1;i<=mem;++i)
{
printf("id%d\n",i);
for(int j=0;j<=1;++j)
{
for(int k=0;k<=2;++k)
{
for(int l=0;l<=2;++l)
{
printf("%d ",ta[i].a[j][k][l]);
}
puts("");
}
puts("/////////////////////");
}
for(int j=0;j<=4;++j)
printf("%d ",trans[i][j]);
puts("");
printf("%d\n---------------------\n",ta[i].b);
}
}
*/
void init()
{
st t1,t2;int t,i;
T=++mem;
S=++mem;
memset(t1.a,,sizeof(t1.a));
t1.b=;
t1.a[][][]=;
ma[t1]=S;ta[S]=t1;
for(t=S;t<=mem;++t)
{
t1=ta[t];
for(i=;i<=;++i)
{
nxt_state(t1,t2,i);
if(judge(t2))
trans[t][i]=T;
else if(!ma.count(t2))
{
ma[t2]=++mem;
ta[mem]=t2;
trans[t][i]=mem;
}
else
trans[t][i]=ma[t2];
}
}
for(i=;i<=;++i)
trans[T][i]=T;
} int n1[],n,ans;
int an1[][][];
int fac[],ifac[];
int C(int n,int m) {return ull(fac[n])*ifac[m]%md*ifac[n-m]%md;}
int CC[][];
int main()
{
int i,t1,t2,j,k,l;
fac[]=;
for(i=;i<=;++i)
fac[i]=ull(fac[i-])*i%md;
//printf("1t%d\n",fac[10000]);
ifac[]=;
for(i=;i>=;--i)
ifac[i-]=ull(ifac[i])*i%md;
//printf("2t%d\n",ifac[1]);
init();
for(i=;i<=;++i)
for(j=;j<=i;++j)
CC[i][j]=C(i,j);
/*
printf("1t%d\n",mem);
for(i=21;i<=25;++i)
{
for(int j=0;j<=4;++j)
printf("%d ",trans[i][j]);
puts("");
for(int j=0;j<=2;++j)
{
for(int k=0;k<=2;++k)
printf("%d ",ta[i].a[0][j][k]);
puts("");
}
puts("");
for(int j=0;j<=2;++j)
{
for(int k=0;k<=2;++k)
printf("%d ",ta[i].a[1][j][k]);
puts("");
}
puts("");
}
return 0;
*/
//printf("1t%d\n",mem);
scanf("%d",&n);
for(i=;i<=;++i)
{
scanf("%d%d",&t1,&t2);
++n1[t1];
}
an1[][][S]=;
for(i=;i<n;++i)
{
for(j=;j<=*n-;++j)
{
for(k=;k<=mem;++k)
{
for(l=;l<=-n1[i+];++l)
{
addto(an1[i+][j+l][trans[k][l+n1[i+]]],ull(an1[i][j][k])*CC[-n1[i+]][l]%md);
//预处理C(a,b)减小常数
}
}
}
}
for(j=;j<=*n-;++j)
{
for(k=;k<=mem;++k)
if(k!=T)
{
addto(ans,ull(an1[n][j][k])*fac[j]%md*fac[*n--j]%md);
}
}
printf("%llu\n",(ull(ans)*ifac[*n-]+)%md);
return ;
}
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