洛谷 P5279 - [ZJOI2019]麻将（dp 套 dp）

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一道 dp 套 dp 的 immortal tea

首先考虑如何判断一套牌是否已经胡牌了，考虑 \(dp\)​​​​​。我们考虑将所有牌按权值大小从大到小排成一列，那我们设 \(dp_{i,j,k,0/1}\)​​​​ 表示目前考虑了权值 \(\le i\)​​​​ 的牌，我们之前预留了 \(j\)​​​ 张形如 \((i-1,i)\)​​​ 的牌与 \(i+1\)​​​ 形成刻子，又留了 \(k\)​​​ 张 \(i\)​​​ 与 \(i+1,i+2\)​​​ 形成刻子，\(0/1\)​​​ 表示当前是否留过对子，所能够形成的最大刻子数。设 \(c_i\)​​​ 表示有多少张权值为 \(i\)​​ 的牌，那么从 \(dp_{i,j,k,l}\)​​ 转移到 \(dp_{i+1,j',k',l'}\)​​ 时，由于我们预留了 \(k\)​​ 张 \(i-1,i\)​​ 与 \(i+1\)​​ 搭配，\(j\)​​ 张 \(i\)​​ 与 \(i+1,i+2\)​​ 搭配，所以我们首先得拿出 \(j+k\)​​ 张 \(i+1\)​​ 出来填补预留好的部分，而对于剩余的 \(c_{i+1}-j-k\)​ 牌，我们则需要决策它是否留了两张 \(i+1\) 作为对子，以及预留了多少张与 \(i+2,i+3\) 搭配。那么如何处理 \(7\) 对对子就可以胡牌这一条件呢？这个其实很好办，我们只用判断 \(c_i\ge 2\) 的 \(i\) 的个数是否 \(\ge 7\) 即可。

接下来考虑解决原问题，不难发现如果我们将所有权值从小到大读入，并将当前的 \(dp\)​​ 值看作一个状态（即，把当前 \((dp_{*,0,0,0},dp_{*,0,0,1},dp_{*,1,0,0},dp_{*,1,1,1}\cdots,dp_{*,4,4,0},dp_{*,4,4,1},cnt)\)​​ 这样的有序对视作一个个节点建一张图，其中由于七刻子胡牌这一规则的存在，我们需额外记录一个 \(cnt\) 表示当前有多少个权值 \(i\) 满足权值等于 \(i\) 的牌的张数 \(\ge 2\)）那么如果我们新添上 \(x\) 张权值为 \(i+1\) 的牌，那么从 \(dp_{i}\) 转移到 \(dp_{i+1}\)​ 则可以视作从当前有序对沿着转移边转移到另一个节点，转移方法与我们之前判断一套牌是否为胡牌的方法一致，当然如果添上这 \(x\) 张权值为 \(i+1\) 的牌后已经胡了则我们要转移到终止节点——也就是胡牌这个状态对应的节点。这样我们即可将这个自动机建出来。

最后考虑怎样求解答案，注意到虽然每个 \(dp\)​​ 值可能的情况可能很多，差不多是指数级别的，可如果我们真正写个程序 BFS 一下就可以发现能够从 \((0,0,\cdots,0)\)​​ 到达的状态并不多——准确来说，是 \(2092\)​​ 个，再联系此题 \(n\)​​ 很小这个数据范围我们可以想到 DP，具体来说，对于一个摸了 \(x\)​​ 张牌后才胡牌的情形，我们可以将它的贡献拆成，摸了 \(1,2,\cdots,x-1\)​​ 张牌后还未胡牌的概率。因此我们即需求出摸了 \(i\)​​ 张牌后未胡牌的概率，将它们加起来再加 \(1\)​​ 就是答案。这样我们可以设 \(dp_{i,j,k}\)​​ 表示有多少个摸牌的集合，满足其中所有牌的权值 \(\le i\)​​，将它们全部读入自动机后当前位于自动机上 \(j\)​​ 节点的位置，并且 \(k\)​​ 张牌。转移就枚举新摸了多少张权值为 \(i+1\)​​ 的牌——设摸了 \(x\)​​ 张权值为 \(i+1\)​​ 的牌，最初的牌堆中有 \(a_{i+1}\)​​ 张权值为 \(i+1\)​ 的牌，那么需有 \(x\ge a_{i+1}\)​。沿着自动机对应的边转移即可。那么最终对于一个 \(dp_{n,j,k}\)​，其中 \(j\)​ 不是终止节点，其对答案的贡献就是 \(dp_{n,j,k}·\dfrac{k!(4n-13-k)!}{(4n-13)!}\)​。

时间复杂度 \(2092·n^2\)，可以通过此题。

const int MAXN=400;
const int MAXM=2222;
const int MOD=998244353;
struct mat{
	int a[3][3];
	void clear(){memset(a,-1,sizeof(a));}
	int* operator [](int x){return a[x];}
	mat(){clear();}
	bool operator ==(const mat &rhs) const{
		for(int i=0;i<3;i++) for(int j=0;j<3;j++)
			if(a[i][j]^rhs.a[i][j]) return 0;
		return 1;
	}
	bool operator !=(const mat &rhs) const{return !((*this)==rhs);}
	bool operator <(const mat &rhs) const{
		for(int i=0;i<3;i++) for(int j=0;j<3;j++){
			if(a[i][j]<rhs.a[i][j]) return 0;
			if(a[i][j]>rhs.a[i][j]) return 1;
		} return 0;
	}
};
void get_trs(mat &to,mat from,int cnt){
	for(int i=0;i<3;i++) for(int j=0;j<3;j++) if(~from[i][j])
		for(int k=0;k<3&&i+j+k<=cnt;k++)
			chkmax(to[j][k],min(4,from[i][j]+i+(cnt-i-j-k)/3));
}
struct node{
	int prs_cnt;mat dp[2];
	void clear(){prs_cnt=0;dp[0].clear();dp[1].clear();}
	node(){clear();}
	void make_zero(){clear();dp[0][0][0]=0;}
	void make_win(){prs_cnt=-1;dp[0].clear();dp[1].clear();}
	bool check_win(){
		if(prs_cnt==7) return 1;
		for(int i=0;i<3;i++) for(int j=0;j<3;j++) if(dp[1][i][j]==4)
			return 1;
		return 0;
	}
	void check(){if(check_win()) make_win();}
	bool operator ==(const node &rhs) const{
		return (prs_cnt==rhs.prs_cnt&&dp[0]==rhs.dp[0]&&dp[1]==rhs.dp[1]);
	}
	bool operator !=(const node &rhs) const{return !((*this)==rhs);}
	bool operator <(const node &rhs) const{
		if(prs_cnt^rhs.prs_cnt) return prs_cnt<rhs.prs_cnt;
		if(dp[0]!=rhs.dp[0]) return dp[0]<rhs.dp[0];
		if(dp[1]!=rhs.dp[1]) return dp[1]<rhs.dp[1];
		return 0;
	}
};
node getnxt(node a,int cnt){
	if(!~a.prs_cnt) return a;
	node res;
	if(cnt>=2) res.prs_cnt=a.prs_cnt+1;
	else res.prs_cnt=a.prs_cnt;
	if(cnt>=2) get_trs(res.dp[1],a.dp[0],cnt-2);
	get_trs(res.dp[0],a.dp[0],cnt);
	get_trs(res.dp[1],a.dp[1],cnt);
	res.check();return res;
}
map<node,int> id;
int ncnt=0,ch[MAXM+5][5],ed=0;
void find_state(){
	queue<node> q;node st;st.make_zero();
	id[st]=++ncnt;q.push(st);
	while(!q.empty()){
		node x=q.front();q.pop();
		for(int i=0;i<=4;i++){
			node y=getnxt(x,i);
			if(!id[y]) id[y]=++ncnt,q.push(y);
			ch[id[x]][i]=id[y];
		}
	} st.make_win();ed=id[st];
}
int fac[MAXN+5],ifac[MAXN+5];
void init_fac(int n){
	for(int i=(fac[0]=ifac[0]=ifac[1]=1)+1;i<=n;i++) ifac[i]=1ll*ifac[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD,ifac[i]=1ll*ifac[i]*ifac[i-1]%MOD;
}
int binom(int x,int y){return 1ll*fac[x]*ifac[y]%MOD*ifac[x-y]%MOD;}
int n,cnt[MAXN+5],dp[MAXN/4+5][MAXM+5][MAXN+5];
int main(){
	init_fac(MAXN);find_state();//printf("%d\n",ncnt);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x;i<=13;i++) scanf("%d%*d",&x),cnt[x]++;
	dp[0][1][0]=1;
	for(int i=0;i<n;i++){
		for(int j=1;j<=ncnt;j++) for(int k=0;k<=n<<2;k++){
			if(dp[i][j][k]){
				for(int l=cnt[i+1];l<=4;l++) if(ch[j][l]!=ed){
					dp[i+1][ch[j][l]][k+l]=(dp[i+1][ch[j][l]][k+l]+1ll*binom(4-cnt[i+1],l-cnt[i+1])*dp[i][j][k])%MOD;
				}
			}
		}
	} int tot=(n<<2)-13,res=0;
	for(int i=1;i<=ncnt;i++) for(int j=0;j<=tot;j++) if(dp[n][i][j+13])
		res=(res+1ll*dp[n][i][j+13]*fac[j]%MOD*fac[tot-j]%MOD*ifac[tot])%MOD;
	printf("%d\n",res);
	return 0;
}