【洛谷】P3188 [HNOI2007]梦幻岛宝珠

题目描述

给你N颗宝石，每颗宝石都有重量和价值。要你从这些宝石中选取一些宝石，保证总重量不超过W，且总价值最大为
，并输出最大的总价值。
  数据范围：N<=100;W<=2^30,并且保证每颗宝石的重量符合a*2^b（a<=10;b<=30）

输入格式

输入文件中包含多组数据。
  每组数据的格式如下：
  第一行是两个正整数n和W，1≤n≤100,1≤W≤2^30，分别表示宝石的数目和最多能带走的宝石重量。
  接下来的n行，每行有两个正整数weighti和valuei，1≤weighti≤2^30, 0≤valuei≤2^30，
  分别表示第i颗宝石的重量和价值，且保证weighti能写成a*2^b(1≤a≤10,0≤b≤30)的形式。
  同一行的两个正整数之间用空格隔开。
  最后一组数据的后面有两个-1，表示文件的结束。这两个-1并不代表一组数据，
  你不需对这组数据输出结果。并且输入文件中数据的组数不超过20。

输出格式

对于输入的每组数据，输出一个整数C，表示小P最多能带走的宝石的总价值。
  每个结果整数C单独占一行，且保证C不会超过2^30。

输入样例
  4 10
  8 9
  5 8
  4 6
  2 5
  4 13
  8 9
  5 8
  4 6
  2 5
  16 75594681
  393216 5533
  2 77
  32768 467
  29360128 407840
  112 68
  24576 372
  768 60
  33554432 466099
  16384 318
  33554432 466090
  2048 111
  24576 350
  9216 216
  12582912 174768
  16384 295
  1024 76
  -1 -1

输出样例
  14
  19
  1050650

分析

乍一看，怎么又是背包。

再一看，woc，范围怎么这么大。

有一看，好像可以根据2的几次幂来分层，最后合并。

仔细一想，还不是要很大的空间和复杂度，而且还不会写。

再一想，千年等一回

最后放弃去网上找题解，结果发现有一个贪心，从一位与下一位的合并时，只考虑这一位1000以内的情况。

用dp[i][j]表示背包的容量已经占用了j*2^i+(w&（(1<< i)-1)）时的最大价值

先对于每一个i进行背包的合并，然后再考虑把每一位合并。

合并时，dp[i][j]=max（dp[i][j]，dp[i][j-k]+dp[i-1][2*k+((w>>(i-1) )&1)]）

其中（2*k+((w>>(i-1))&1)）可以通过倒推得到，用j*2^i+(w&（(1<< i)-1)）减去k*2^i+(w&（(1<< i)-1)）即可

upd 20191014

突然想到一种对dp转移式子的感性理解，第i位的k到第i-1位后就是k*2，而((w>>(i-1) )&1)就代表w在第i-1位是否有1

所以dp转移式子还可以优化成

dp[i][j]=max（dp[i][j]，dp[i][j-k]+max(dp[i-1][2*k+((w>>(i-1) )&1)],dp[i-1][2*k])）

顺便把另一种写法也写了。。。。。。

推荐一个博客

好像物品可以一个一个加进去，时间上会有很大的优化，然而并不会写。

代码（不要在意那个O2）

#pragma GCC optimize (2)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,m,cnt,i,j,k,w,val,f[][];
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        if(n==-&&m==-)return ;
        memset(f,,sizeof f);
        for(i=;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&w,&val);
            cnt=;while(w%==)w/=,cnt++;
            for(j=;j>=w;j--)f[cnt][j]=max(f[cnt][j],f[cnt][j-w]+val);
        }
        int lim=;
        for(i=m;i;i/=)lim++;lim--;
        for(i=;i<=lim;i++)for(j=min(, m>>i);j>=;j--)for(k=;k<=j;k++)
        f[i][j]=max(f[i][j],f[i][j-k]+f[i-][min(,(k*)|((m>>(i-))&))]);
        printf("%d\n",f[lim][]);
    }
}

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long f[][];
int n,m,st[][][];
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        if(n==-&&m==-)return ;
        memset(f,,sizeof f);memset(st,,sizeof st);
        for(int i=,a,b,cnt;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d%d",&a,&b);cnt=;
            while(a%==)a/=,cnt++;
            st[cnt][++st[cnt][][]][]=a;st[cnt][st[cnt][][]][]=b;
        }
        int lim=;for(int i=m/;i;i/=)lim++;
        for(int i=;i<=lim;i++)
        {
            if(i)for(int j=;j<=;j++)f[i][j]=f[i-][min(,(j<<)|((m>>(i-))&))];
            for(int j=;j<=st[i][][];j++)for(int k=min(m>>i,);k>=st[i][j][];k--)
                f[i][k]=max(f[i][k],f[i][k-st[i][j][]]+st[i][j][]);
        }
        printf("%lld\n",f[lim][]);
    }
}