[TJOI2015]概率论[卡特兰数]
题意
\(n\) 个节点二叉树的叶子节点的期望个数。
\(n\leq 10^9\) .
分析
实际询问可以转化为 \(n\) 个点的不同形态的二叉树的叶子节点总数。
定义 \(f_n\) 表示 \(n\) 个节点的二叉树的个数, \(g_n\) 表示 \(n\) 个节点的不同形态的二叉树的叶子节点总数。
设一棵 \(n\) 个节点的树有 \(m\) 个叶子节点,每删去一个叶子节点都可以得到一棵大小为 \(n-1\) 的二叉树,考虑每个大小为 \(n-1\) 的二叉树,共有 \(n\) 个叶子节点,会被 \(n\) 棵大小为 \(n\) 的树考虑叶子贡献。
得到 \(g_n=\frac{n*f_{n-1}}{f_n}\)。
\(f_n\) 是卡特兰数的第 \(n\) 项。
化简之后答案为\(\frac{n(n+1)}{4n-2}\) .
代码
#include<cstdio>
using namespace std;
double x;
int main(){
scanf("%lf",&x);
printf("%.9lf\n",(x*(x+1)/2/(2*x-1)));
return 0;
}
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