[luogu3978][bzoj4001][TJOI2005]概率论【基尔霍夫矩阵+卡特兰数】

题目描述

为了提高智商,ZJY开始学习概率论。有一天,她想到了这样一个问题：对于一棵随机生成的n个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现),它的叶子节点数的期望是多少呢?
判断两棵树是否同构的伪代码如下：

题解

样例\(1\)是这个意思

我们需要解出两部分的答案，\(f(n)\)表示\(i\)个节点的树的个数，这个就是经典的卡特兰数为了方便计算我们将通项公式写成\(f(n)=\frac{C^n_(2n)}{n+1}\)的形式。
我们在定义\(g(n)\)表示\(i\)个节点中所有形态的树的叶节点总数。
我们打表发现有规律是\(g(n)=n\times f(n-1)\)。
给出两种证明：

关于规律的证明1

• 对于每一个\(n\)个节点的二叉树，如果里面有\(k\)个叶节点，那么我们分别把\(k\)个叶子节点删去，那么就会得到\(k\)个\(n-1\)个点的二叉树。
• 而每一棵\(n-1\)个点的二叉树恰好有\(n\)个位置可以悬挂一个新的叶子节点，所以每棵\(n-1\)个点的二叉树倍得到了\(n\)次；
• 那么就是就可以得到\(g(n)=n\times f(n)\)。

关于规律的证明2

详细请见Miskcoo大大的博客

ac代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
dd n;
int main(){
    scanf("%lf",&n);
    printf("%.9f\n",(n*n+n)/(4*n-2));
    return 0;
}