可并堆试水--BZOJ1367: [Baltic2004]sequence

n<=1e6个数，把他们修改成递增序列需把每个数增加或减少的总量最小是多少？

方法一：可以证明最后修改的每个数一定是原序列中的数！于是$n^2$DP（逃）

方法二：把$A_i$改成$A_i-i$，变论文题：论文

大概证明是这样的：考虑合并两个区间的答案，假如一个区间答案是{u,u,u,……,u}，另一个是{v,v,v,……,v}，那合并之后，如果u<=v最优就{u,u,……,u,v,……,v}；如果u>v，假设最优是

{b1,b2,……,bn,bn+1,……,bm}，那么一定有bn<=u，否则把前半部分改成{u,u,……,u}不会更差。同理bn+1>=v。

这里有个不懂的地方：

因此可以把他改成{bn,bn,……,bn,bn+1,……,bn+1}，不会更差。可以用几何意义感性理解一下：左边离u越近越优，右边离v越近越优。

然后由于bn<=u，bn+1>=v，本着“bn能大就大，bn+1能小就小”的原则让bn=bn+1。于是合并后的最优解为{w,w,w,……,w}，最优的w是谁呢？肯定是整个区间的中位数啦。

然后就可以可并堆做一波合并了，因为这里合并后中位数只会变小，可以维护一个区间的一半小的数或一半大的数，合并两个区间时，如果两个区间大小都是奇数，则堆里会多出一个数，删之。

可并堆常需合并特定点所在的堆，因此常与并查集连用。千万别并查集懵逼了！！因为并查集操作失误调了一晚上。。

 #include<string.h>
 #include<stdlib.h>
 #include<stdio.h>
 #include<math.h>
 //#include<assert.h>
 #include<algorithm>
 //#include<iostream>
 using namespace std;

 int n;
 #define maxn 1000011
 int root[maxn];
 int find(int x) {return x==root[x]?x:(root[x]=find(root[x]));}
 struct leftist
 {
     struct Node
     {
         int v,ls,rs,dis,size;
     }a[maxn];
     int size;
     leftist() {a[].dis=-;}
     int merge(int x,int y)
     {
         if (!x || !y) return x^y;
         if (a[x].v<a[y].v) {int t=x; x=y; y=t;}
         a[x].rs=merge(a[x].rs,y);
         if (a[a[x].ls].dis<a[a[x].rs].dis) {int t=a[x].ls; a[x].ls=a[x].rs; a[x].rs=t;}
         a[x].dis=a[a[x].rs].dis+;
         a[x].size=a[a[x].ls].size+a[a[x].rs].size+;
         return x;
     }
     void push(int x,int &root,int val)
     {
         a[x].v=val; a[x].ls=a[x].rs=a[x].dis=; a[x].size=;
         root=merge(root,x);
     }
     int top(int root) {return a[root].v;}
     void pop(int &root) {root=merge(a[root].ls,a[root].rs);}
 }q;

 int a[maxn],sta[maxn],die[maxn],top;
 int main()
 {
     scanf("%d",&n);
     for (int i=;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]),a[i]-=i;
     for (int i=;i<=n;i++)
     {
         q.push(i,root[i],a[i]); int x,y;
         while (top && q.top(x=find(root[sta[top]]))>q.top(y=find(root[i])))
         {
             bool flag=;
             if (((sta[top]-sta[top-])&) && ((i-sta[top])&)) flag=;
             root[x]=root[y]=q.merge(x,y); x=root[x];
             if (flag) die[x]=,q.pop(root[x]),root[root[x]]=root[x];
             top--;
         }
         sta[++top]=i;
     }
     #define LL long long
     LL ans=;
     for (int i=;i<=n;i++) ans+=fabs(a[i]-q.top(find(root[i])));
     printf("%lld\n",ans);
     return ;
 }