洛谷 - UVA11424 - GCD - Extreme (I) - 莫比乌斯反演 - 整除分块

https://www.luogu.org/problemnew/show/UVA11424

原本以为是一道四倍经验题来的。

因为输入的n很多导致像之前那样 \(O(n)\) 计算变得非常荒谬。

那么我们就需要引入一个整除分块！

首先预处理欧拉函数的前缀和，然后丢进分块里面搞一搞。

那么就是 \(O(n+t\sqrt{n})\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long

#define N 4000005
int phi[N],pri[N],cntpri=0;
bool notpri[N];

ll prefix[N];

void sieve_phi(int n) {
    notpri[1]=phi[1]=1;
    prefix[0]=0;
    prefix[1]=1;
    for(int i=2; i<=n; i++) {
        if(!notpri[i])
            pri[++cntpri]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1; j<=cntpri&&i*pri[j]<=n; j++) {
            notpri[i*pri[j]]=1;
            if(i%pri[j])
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
            else {
                phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
                break;
            }
        }
        prefix[i]=prefix[i-1]+phi[i];
    }
}

ll sumfenkuai(ll n) {
    ll ans=0;
    for(ll l=1,r; l<=n; l=r+1) {
        if(n/l!=0) {
            r=min(n/(n/l),n);
        } else {
            //n/l==0，意味着l>n，所有的后面的下整都是0，分成同一块
            r=n;
            break;
        }

        //phi=?
        //sum(phi)=?
        //c=n/l=n/r

        //ans=sum_d=1^n:(sum(d)*c)
        ans+=(n/l)*(n/l)*(prefix[r]-prefix[l-1]);
    }
    return ans;
}

int main() {
    sieve_phi(100000+5);
    int n;
    while(cin>>n) {
        ll ans=sumfenkuai(n);
        cout<<ans<<endl;
    }
}