51Nod 1627 瞬间移动 —— 组合数学

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1627 瞬间移动 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

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有一个无限大的矩形，初始时你在左上角（即第一行第一列），每次你都可以选择一个右下方格子，并瞬移过去（如从下图中的红色格子能直接瞬移到蓝色格子），求到第n行第m列的格子有几种方案，答案对1000000007取模。

Input

单组测试数据。
两个整数n,m（2<=n,m<=100000）

Output

一个整数表示答案。

Input示例

4 5

Output示例

10

题解：

1.如果去除掉起点和终点，那么就是对中间的矩形进行统计。则首先 n -= 2， m -= 2。

2. 可知里边的矩形最多只能有 min(n,m)个足迹，假设m = min(n,m)，即最多只能有m个足迹。

3.根据以上两点，可以枚举矩形里足迹的个数i，然后再为这i个足迹分配横、纵坐标，总共有 C(n,i)*C(m,i)种情况，则最终答案为：∑C(n,i)*C(m,i) ， 0<=i<=m 。

代码如下：

 #include <iostream>
 #include <cstdio>
 #include <cstring>
 #include <algorithm>
 #include <vector>
 #include <cmath>
 #include <queue>
 #include <stack>
 #include <map>
 #include <string>
 #include <set>
 using namespace std;
 typedef long long LL;
 const int INF = 2e9;
 const LL LNF = 9e18;
 const int MOD = 1e9+;
 const int MAXM = 1e5+;
 const int MAXN = 2e5+;

 LL qpow(LL x, LL y)
 {
     LL s = ;
     while(y)
     {
         if(y&) s = (s*x)%MOD;
         x = (x*x)%MOD;
         y >>= ;
     }
     return s;
 }

 LL A[MAXN], inv[MAXN];
 LL C(LL n, LL m)
 {
     if(n<m) return ;
     return (((A[n]*inv[n-m])%MOD)*inv[m])%MOD;
 }

 void init()
 {
     A[] = inv[] = ;
     for(int i = ; i<MAXN; i++)
     {
         A[i] = i*A[i-]%MOD;
         inv[i] = qpow(A[i], MOD-);
     }
 }

 int main()
 {
     init();
     LL n, m;
     while(scanf("%lld%lld",&n,&m)!=EOF)
     {
         n -= ; m -= ; //去掉起始点和终点，只对里边的矩形进行统计
         if(n<m) swap(n,m);
         LL ans = ;
         for(int i = ; i<=m; i++)     //里边的矩形最多只能有min(n,m)个“足迹”,即最多只能走min(n,m)+1步
             ans = (ans+C(m,i)*C(n,i)%MOD)%MOD;  //如果里边有i个足迹，则为这i个足迹选择横坐标、纵坐标
         printf("%lld\n", ans);
     }
 }