【概率dp 高斯消元】bzoj3270: 博物馆

一类成环概率dp的操作模式

Description

有一天Petya和他的朋友Vasya在进行他们众多旅行中的一次旅行，他们决定去参观一座城堡博物馆。这座博物馆有着特别的样式。它包含由m条走廊连接的n间房间，并且满足可以从任何一间房间到任何一间别的房间。

两个人在博物馆里逛了一会儿后两人决定分头行动，去看各自感兴趣的艺术品。他们约定在下午六点到一间房间会合。然而他们忘记了一件重要的事：他们并没有选好在哪儿碰面。等时间到六点，他们开始在博物馆里到处乱跑来找到对方（他们没法给对方打电话因为电话漫游费是很贵的）

不过，尽管他们到处乱跑，但他们还没有看完足够的艺术品，因此他们每个人采取如下的行动方法：每一分钟做决定往哪里走，有Pi 的概率在这分钟内不去其他地方（即呆在房间不动），有1-Pi 的概率他会在相邻的房间中等可能的选择一间并沿着走廊过去。这里的i指的是当期所在房间的序号。在古代建造是一件花费非常大的事，因此每条走廊会连接两个不同的房间，并且任意两个房间至多被一条走廊连接。

两个男孩同时行动。由于走廊很暗，两人不可能在走廊碰面，不过他们可以从走廊的两个方向通行。（此外，两个男孩可以同时地穿过同一条走廊却不会相遇）两个男孩按照上述方法行动直到他们碰面为止。更进一步地说，当两个人在某个时刻选择前往同一间房间，那么他们就会在那个房间相遇。

两个男孩现在分别处在a，b两个房间，求两人在每间房间相遇的概率。

Input

第一行包含四个整数，n表示房间的个数;m表示走廊的数目;a,b (1 ≤ a, b ≤ n),表示两个男孩的初始位置。

之后m行每行包含两个整数，表示走廊所连接的两个房间。

之后n行每行一个至多精确到小数点后四位的实数 表示待在每间房间的概率。

题目保证每个房间都可以由其他任何房间通过走廊走到。

Output

输出一行包含n个由空格分隔的数字，注意最后一个数字后也有空格，第i个数字代表两个人在第i间房间碰面的概率（输出保留6位小数）

注意最后一个数字后面也有一个空格

Sample Input

2 1 1 2
1 2
0.5
0.5

Sample Output

0.500000 0.500000

HINT

对于100%的数据有 n <= 20，n-1 <= m <= n(n-1)/2

---

题目分析

记$f[i][j]$为两人分别在$i$和$j$的概率，$u,v$为分别与$i,j$相连的点，那么有$$f[i][j]= \begin{cases} \sum \frac{f[u][v]*(1-p[u])*(1-p[v]))}{deg[u]*deg[v]}& \text{(u!=i&&v!=j)}\\\sum \frac{f[u][v]*(1-p[u])*p[v])}{deg[u]*deg[v]}& \text{(u!=i&&v=j)}\\\sum \frac{f[u][v]*p[u]*(1-p[v]))}{deg[u]*deg[v]}& \text{(u=i&&v!=j)}\\\sum \frac{f[u][v]*(1-p[u]*(1-p[v]))}{deg[u]*deg[v]}& \text{(u=i&&v=j)}\end{cases}$$

由于这里dp的关系成环，不能够直接转移，所以要使用高斯消元。由此共有$n^2$个状态，即$n^2$个未知量。故用$id[i][j]$来表示$f[i][j]$，就可方便地把这些未知量的关系用矩阵表示出来。

需要注意的是，初始$f[S][T]$的概率为1，不过后面又会有经过它的概率，所以在计算时需要考虑其初始概率。这里算是一个概率dp的奇怪的地方：最终$f[S][T]>1$。

再者是处理的一个小技巧：添一条自边便于处理。

 #include<bits/stdc++.h>
 const int maxn = ;

 int n,m,tot,S,T,deg[maxn],id[maxn][maxn];
 double out[maxn],p[maxn],ans[maxn],mp[maxn][maxn];
 int G[maxn][maxn];

 void Gauss(int n)
 {
     double bse;
     for (int i=, r; i<=n; i++)
     {
         r = i;
         for (int j=i+; j<=n; j++)
             if (fabs(mp[j][i]) > fabs(mp[r][i])) r = j;
         if (r!=i) std::swap(mp[i], mp[r]);
         bse = mp[i][i];
         for (int j=i; j<=n+; j++) mp[i][j] /= bse;
         for (int j=i+; j<=n; j++)
         {
             bse = mp[j][i];
             for (int k=i; k<=n+; k++)
                 mp[j][k] -= bse*mp[i][k];
         }
     }
     ans[n] = mp[n][n+];
     for (int i=n-; i; i--)
     {
         ans[i] = mp[i][n+];
         for (int j=i+; j<=n; j++) ans[i] -= ans[j]*mp[i][j];
     }
 }
 int main()
 {
     scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&S,&T);
     tot = n*n;
     for (int i=,x,y; i<=m; i++)
     {
         scanf("%d%d",&x,&y), ++deg[x], ++deg[y];
         G[x][++G[x][]] = y, G[y][++G[y][]] = x;
     }
     for (int i=; i<=n; i++)
     {
         scanf("%lf",&p[i]);
         G[i][++G[i][]] = i;
         out[i] = (1.0-p[i])/(1.0*deg[i]);
     }
     for (int i=, t=; i<=n; i++)
         for (int j=; j<=n; j++)
             id[i][j] = ++t;
     mp[id[S][T]][tot+] = -;
     for (int i=; i<=n; i++)
         for (int j=; j<=n; j++)
         {
             --mp[id[i][j]][id[i][j]];
             for (int l=; l<=G[i][]; l++)
                 for (int r=; r<=G[j][]; r++)
                 {
                     int u = G[i][l], v = G[j][r];
                     if (u==v) continue;
                     if (u==i&&v==j) mp[id[i][j]][id[i][j]] += p[i]*p[j];
                     if (u!=i&&v!=j) mp[id[i][j]][id[u][v]] += out[u]*out[v];
                     if (u==i&&v!=j) mp[id[i][j]][id[u][v]] += p[u]*out[v];
                     if (u!=i&&v==j) mp[id[i][j]][id[u][v]] += out[u]*p[v];
                 }
         }
     Gauss(tot);
     for (int i=; i<=n; i++) printf("%.6lf ",ans[id[i][i]]);
     return ;
 }

看到有网上有些博客说，高斯消元这里$mp[id[i][j]][id[u][v]]$是指$id[i][j]$状态转移到$id[u][v]$状态的概率，这个说法其实是不对的。$id[i][j]$实际上不过是和常规高斯消元一样，代表处理第几条方程；至于$id[u][v]$则表示当前这条方程中的$f[u][v]$；所以$mp[id[i][j]][id[u][v]]$是指第$id[i][j]$条方程中，第$id[u][v]$个未知量的系数。

END