【POJ 2480】Longge's problem（欧拉函数）

题意

求$ \sum_{i=1}^n gcd(i,n) $ 给定 $n（1\le n\le 2^{32}) $。

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题解

欧拉函数 $φ(x)$ ：1到x-1有几个和x互质的数。

gcd(i,n)必定是n的一个约数。

若p是n的约数，那么gcd(i,n)==p的有$φ(n/p)$个数，因为要使gcd(i,n)==p，i/p和n/p必须是互质的。

那么就是求i/p和n/p互质的i在[1,n]里有几个，就等价于 1/p，2/p，...，n/p 里面有几个和n/p互质，即φ(n/p)。

求和的话，约数为p的有φ(n/p)，所以就是p*φ(n/p)，同时把约数为n/p的加上去，i*i==n特判一下。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define ll long long
ll n,ans,i;
ll euler(int x)
{
    int res=x;
    for(int i=; i<=sqrt(x); i++)
        if(x%i==)
        {
            res=res/i*(i-);
            while(x%i==)x/=i;
        }
    if(x>)res=res/x*(x-);
    return res;
}
int main()
{
    while(~scanf("%lld",&n))
    {
        ans=;
        for(i=; i<sqrt(n); i++)if(n%i==)
                ans+=i*euler(n/i)+n/i*euler(i);
        if(i*i==n)ans+=i*euler(i);
        printf("%lld\n",ans);
    }
}

另外一种做法是:

素数a有$φ(a^b)=a^b-a^(b-1)=(a-1)*a^b$。

且有 $\sum_{i=1}^n gcd(i,a^b)$

$=φ(a^b)+a*φ(a^(b-1))+...+(a^b)*φ(1)$

$=b*(a-1)*(a^(b-1))+a^b$。

由$n=p_1^{k_1}+p_2^{k_2}+...+p_s^{k_s}$，

可得$\sum_{i=1}^n gcd(i,n)$

$=\sum_{i=1}^n gcd(i,p_1^{k_1})*\sum_{i=1}^n gcd(i,p_2^{k_2})*...*\sum_{i=1}^n gcd(i,p_s^{k_s})$

(我觉得这个理解起来不容易)。

#include<cstdio>
long long n,i,k,pk,ans;
int main ()
{
    while(scanf("%lld",&n)!=EOF)
    {
        ans=;
        for(i=;i*i<=n;++i)
        {
            k=,pk=;
            while(n%i==)
            {
                n=n/i;
                k++;
                pk*=i;
            }
            ans*=k*(pk-pk/i)+pk;//φ[p^k]=k×(p^k-p^(k-1))+p^k
        }
        if(n>)ans*=*n-;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return ;
}