Tarjan求强连通分量 缩点
强连通分量的定义:
在一张有向图中,如果两个点u,v之间能相互到达则称这两个点u,v是强连通的,在这个基础上如果有向图G中的任意两个顶点都强连通,那么称图G是一个强连通图。有向非强连通图的极大强连通子图称为强连通分量。极大强连通子图就是强连通子图中最大的那个,它不被其他强连通子图所包括。
概念挺多,特别混乱的感觉。理一下...
一个强连通图中的每一对顶点都必须强连通。
一个强连通图不叫做强连通分量,只叫做强连通图。
一个强连通子图G若为强连通分量那么必然是一个最大的强连通子图,也就是原图中不存在另一个图G',使得G是G'的真子集。
举个例子:
在图中,子图{1,2,3,4}为一个强连通分量,因为顶点1,2,3,4两两可达,子图{1,3,4}是一个强连通子图并不是强连通分量,因为它被子图{1,2,3,4}所包含,所以只是一个强连通子图。
强连通分量的应用:
缩点:在一个有向图中将所有的强连通分量都缩成一个点的话,原图就会变成一个DAG(有向无环图),因为DAG有一些比较好的性质,所以会给解题带来很大的方便。
举个例子:
原图:
找出图中所有的强连通分量:
缩完点之后:
Tarjan 算法:
Tarjan算法以dfs的方式实现,每个强连通分量为搜索树中的一颗子树,搜索的时候,把当前搜索树中为处理的结点加入一个栈,回溯时可以判断到栈中的结点是否构成一个强连通分量。
这个书面语不懂也罢,接着往下看吧。
先介绍一下搜索时会遇到的四种边吧:
树枝边:dfs时经过的边。
前向边:与dfs方向一致,由某个结点指向其子孙的边。
后向边:与dfs方向相反,有某个结点指向其祖先的边。
横叉边:由某个结点指向搜索树种另一子树的边。
dfn[u]: 表示结点u的搜索次序编号,也就是时间戳.
low[u]: 表示结点u或u的子树能够回溯到的最早的栈中结点的时间戳(dfn)。
如果(u,v)为树枝边,u为v的父结点:low[u]=min(low[u],low[v]);
如果(u,v)为后向边或者指向栈中结点的横叉边:low[u]=min(low[u],dfn[v]);
指向栈中的结点的横叉边的原因是:一个点只能属于一个强连通分量,如果不是指向栈中结点的横叉边,那么横叉边的另一结点v一定在此之前已经属于了另一个强连通分量。
当结点u的搜索过程结束之后,如果dfn[u]=low[u],那么以u为根的搜索子树上所有还在栈中的结点(即u和栈中在u之后的结点)是一个强连通分量,即可推栈。
因为当dfn[u]=low[u]时表示u即u的子孙结点最早能够到达的点便是结点u,那么u就是它的子孙中的最高祖先。
算法演示见博客:https://www.cnblogs.com/five20/p/7594239.html
例题:
#10091. 「一本通 3.5 例 1」受欢迎的牛: https://loj.ac/problem/10091
解题思路:
由题意可得,一头牛u若为受欢迎的牛,那么他必然受到其他所有牛的喜欢,由于喜欢可以传递,那么意味着从其他的任一头牛出发都能到达牛u,也可得到一个环上的牛都是互相喜欢的,
所以把每个强连通子图找出来,缩点,然后整个图就变成了DAG,又因为一头牛要受到其他所有牛的喜欢,那么它不能喜欢除了自己这个联通块外的牛(图中已经不存在环了),所以这时只需要
统计一下出度为0的牛的个数,或者直接建反向边,改为统计入度为0的牛的个数。
最后注意缩点后连通块数目多于一个的情况,此时因为联通快多于1个且互不连通,导致没有牛可以收到其他所有牛的喜欢了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define INF 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define maxn 50009
inline ll read()
{
ll x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-') f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=(x<<)+(x<<)+(ll)(ch-'');ch=getchar();}
return x*f;
}
int head[maxn],belong[maxn],low[maxn],dfn[maxn],in[maxn];
struct edge
{
int to,nxt;
}p[maxn];
bool vis[maxn];
stack<int> s;
int n,m,k,cnt,tot,now,ans,id,sum; void add(int x,int y)
{
++cnt,p[cnt].to=y,p[cnt].nxt=head[x],head[x]=cnt;
} void Tarjan(int u)
{
dfn[u]=++id;
low[u]=dfn[u];
s.push(u);
vis[u]=;
for(int i=head[u];i;i=p[i].nxt)
{
int v=p[i].to;
if(!dfn[v])
{
Tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(!belong[v])
{
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
}
if(dfn[u]==low[u])
{
tot++;
while()
{
int v=s.top();
belong[v]=tot;
s.pop();
vis[v]=;
if(u==v)
break;
}
}
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
n=read(),m=read();
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x=read(),y=read();
add(y,x);//建反边,可以将统计连通块的出度转化为统计连通块的入度
} for(int i=;i<=n;i++)
{
if(!dfn[i])
Tarjan(i);
}
for(int i=;i<=n;i++)
for(int j=head[i];j;j=p[j].nxt)
{
int v=p[j].to;
if(belong[i]!=belong[v])
in[belong[v]]++;
}
for(int i=;i<=tot;i++)
if(in[i]==)
{
now=i;
sum++;
}
if(sum!=)
puts("");
else
{
sum=;
for(int i=;i<=n;i++)
if(belong[i]==now)
sum++;
printf("%d\n",sum);
}
// fclose(stdin);
// fclose(stdout);
return ;
}
/*
6 8
1 2
1 3
2 4
3 4
3 5
4 1
4 6
5 6
*/
之前的Tarjan模板
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register int
#define ll long long
#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 10009
#define maxm 50009
inline ll read()
{
ll x=,f=;char ch=getchar();
while(ch<''||ch>''){if(ch=='-')f=-;ch=getchar();}
while(ch>=''&&ch<=''){x=(x<<)+(x<<)+(ll)(ch-'');ch=getchar();}
return x*f;
}
int head[maxn],s[maxn],belong[maxn],dfn[maxn],low[maxn],in[maxn];
int n,m,k,ans,tot,cnt,sum,id,top,block;
struct edge
{
int to,nxt;
}p[maxm]; void add(int x,int y)
{
p[++cnt]={y,head[x]},head[x]=cnt;
} void Tarjan(int u)
{
dfn[u]=low[u]=++id;
s[++top]=u;
for(int i=head[u];i;i=p[i].nxt)
{
int v=p[i].to;
if(!dfn[v])
{
Tarjan(v);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else if(!belong[v])
low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(dfn[u]==low[u])
{
++block;
while()
{
belong[s[top]]=block;
if(s[top]==u)
break;
--top;
}
--top;
}
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
n=read(),m=read();
for(int i=;i<=m;i++)
{
int x=read(),y=read();
add(y,x);
}
for(int i=;i<=n;i++)
if(!dfn[i])
Tarjan(i);
/* for(int i=1;i<=n;i++)
cout<<belong[i]<<" ";
cout<<endl;*/
for(int u=;u<=n;u++)
for(int i=head[u];i;i=p[i].nxt)
{
int v=p[i].to;
if(belong[u]!=belong[v])
in[belong[v]]++;
}
int now;
for(int i=;i<=block;i++)
if(in[i]==)
ans++,now=i;
if(ans!=)
{
puts("");
return ;
}
ans=;
for(int i=;i<=n;i++)
if(belong[i]==now)
++ans;
printf("%d\n",ans);
fclose(stdin);
fclose(stdout);
return ;
}
现在的模板
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