【Codeforces 1110E】Magic Stones

Codeforces 1110 E

题意：给定两个数组，从第一个数组开始，每次可以挑选一个数，把它变化成左右两数之和减去原来的数，问是否可以将第一个数组转化成第二个。

思路：

结论：两个数组可以互相转化的充要条件是它们差分后的数组排序后相同并且它们第一个数相同。

证明：

先证明一个引理。

引理：两个数组可以互相转化的必要条件是它们都能转化成同一个数组。

证明：假设A转化成B，C也转化成B，由于操作可逆，于是可以从A转化成B再转化成C。\(\square\)

证明原结论的充分性。

看某一次操作。

从\(c_1,\dots,c_{i-1},c_i,c_{i+1},\dots,c_n\)更改到\(c_1,\dots,c_{i-1},c_{i-1}+c_{i+1}-c_i,c_{i+1},\dots,c_n\)

差分数组从\(c_2-c_1,\dots,c_i-c_{i-1},c_{i+1}-c_i,\dots,c_n-c_{n-1}\)更改到\(c_2-c_1,\dots,c_{i+1}-c_i,c_i-c_{i-1},\dots,c_n-c_{n-1}\)

可以看出，它们排序后的结果定然是一样的。

证明原结论的必要性。

如果这两个差分数组排序后是一样的，以上文的方法可以用类似冒泡排序的方法把差分数组变为有序的，因为它们第一个数相同，所以原数组也相同。

\(\square\)

按照结论直接做就可以了。