P2885 [USACO07NOV]电话线Telephone Wire

P2885 [USACO07NOV]电话线Telephone Wire

最近，Farmer John的奶牛们越来越不满于牛棚里一塌糊涂的电话服务于是，她们要求FJ把那些老旧的电话线换成性能更好的新电话线。 新的电话线架设在已有的N(2 <= N <= 100,000)根电话线杆上， 第i根电话线杆的高度为height_i米(1 <= height_i <= 100)。电话线总是从一根电话线杆的顶端被引到相邻的那根的顶端 如果这两根电话线杆的高度不同，那么FJ就必须为此支付 C*电话线杆高度差(1 <= C <= 100)的费用。当然，你不能移动电话线杆，只能按原有的顺序在相邻杆间架设电话线。Farmer John认为 加高某些电话线杆能减少架设电话线的总花费，尽管这项工作也需要支出一定的费用。更准确地，如果他把一根电话线杆加高X米的话，他得为此付出X^2的费用。请你帮Farmer John计算一下，如果合理地进行这两种工作，他最少要在这个电话线改造工程上花多少钱。

Solution

设计dp状态为 \(dp[i][j]\) 表示考虑前 \(i\) 个柱子， 并且将第 \(i\) 个柱子的高度改造为 \(j\) 的最小花费

容易想出 \(dp\) 方程： $$dp[i][j] = min(dp[i - 1][k] + (j - h[i])^{2} + |j - k| * c)$$

复杂度 \(O(nC_{2})\)

考虑优化

发现绝对值比较难处理

我们先把无关 \(k\) 的值提出来， 分类讨论处理一下绝对值

\[dp[i][j] = min(dp[i - 1][k] - c * k) + (j - h[i])^{2} + c * j\ \ \ (j \geq k)
\]

\[dp[i][j] = min(dp[i - 1][k] + c * k) + (j - h[i])^{2} - c * j\ \ \ (j \leq k)
\]

然后 \(min\) 里可以用一个变量维护

处理绝对值分别正序倒叙枚举即可

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<climits>
#define LL long long
#define REP(i, x, y) for(LL i = (x);i <= (y);i++)
using namespace std;
LL RD(){
    LL out = 0,flag = 1;char c = getchar();
    while(c < '0' || c >'9'){if(c == '-')flag = -1;c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9'){out = out * 10 + c - '0';c = getchar();}
    return flag * out;
    }
const LL maxn = 200019, inf = 0xfffffffffffffff;
LL num, c, h[maxn];
LL dp[maxn][119];
LL maxx;
void init(){
	num = RD(), c = RD();
	REP(i, 1, num)h[i] = RD(), maxx = max(maxx, h[i]);
	REP(i, 0, num)REP(j, 0, maxx)dp[i][j] = inf;
	}
void solve(){
	REP(i, h[1], maxx)dp[1][i] = (h[1] - i) * (h[1] - i);
	REP(i, 2, num){
		LL minn = inf;
		REP(j, h[i - 1], maxx){
			minn = min(minn, dp[i - 1][j] - j * c);
			if(j < h[i])continue;
			LL add = (j - h[i]) * (j - h[i]);
			dp[i][j] = min(dp[i][j], minn + add + j * c);
			}
		minn = inf;
		for(int j = maxx;j >= h[i];j--){
			minn = min(minn, dp[i - 1][j] + j * c);
			LL add = (j - h[i]) * (j - h[i]);
			dp[i][j] = min(dp[i][j], minn + add - j * c);
			}
		}
	LL ans = inf;
	REP(i, h[num], maxx)ans = min(ans, dp[num][i]);
	printf("%lld\n", ans);
	}
int main(){
	init();
	solve();
	return 0;
	}