Luogu4528 CTSC2008 图腾 树状数组、容斥

传送门

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设$f_i$表示$i$排列的数量，其中$x$表示不确定

那么$$ans=f_{1324}-f_{1432}-f_{1243}=(f_{1x2x}-f_{1423})-(f_{14xx}-f_{1423})-(f_{12xx}-f_{1234})$$

$$=f_{1x2x}-(f_{14xx}+f_{12xx})+f_{1234}$$

$$=f_{1x2x}-f_{1xxx}+f_{13xx}+f_{1234}$$

①$f_{1xxx}$用树状数组求正序对

②$f_{1234}$四个树状数组瞎搞

③$f_{1x2x}$，考虑枚举$2$的位置

设$l_i$表示满足$j<i,a_j<a_i$的$j$的数量，$r_i$表示满足$j>i,a_j<a_i$的$j$的数量

那么右边的$x$的取法就是$N-i-r_i$种

考虑左边的$x$，考虑容斥。满足$p<i,q<i,a_p<a_i$的有序数对$(p,q)$的数量有$l_i \times (i-1)$个，但是其中多算了：

a.$p<q , a_q<a_i$，个数有$C_{l_i}^2$个

b.$p \geq q$，个数有$\sum j[j < i,a_j<a_i]$种

④$f_{13xx}$，考虑枚举$3$的位置，那么右边的$4$的取法有$N-i-r_i$种

仍然考虑容斥。满足$a_p<a_i , a_q < a_i , p < i$的个数为$(a_i-1) \times l_i$

考虑多算了什么：

a.$a_q > a_p , q < i$，有$C_{l_i}^2$种

b.$a_q \leq a_p$，有$\sum a_j[j < i , a_j < a_i]$种

上面四种加起来就行了

#include<bits/stdc++.h>
//This code is written by Itst
using namespace std;

inline int read(){
    ;
    ;
    char c = getchar();
    while(c != EOF && !isdigit(c)){
        if(c == '-')
            f = ;
        c = getchar();
    }
    while(c != EOF && isdigit(c)){
        a = (a << ) + (a << ) + (c ^ ');
        c = getchar();
    }
    return f ? -a : a;
}

 , MOD = ;
int num[MAXN] , N , sum;

namespace calc{
    ][MAXN] , l[MAXN] , r[MAXN];

    inline int lowbit(int x){
        return x & -x;
    }

    inline void add(int ver , int dir , int num){
        while(dir <= N){
            (Tree[ver][dir] += num) %= MOD;
            dir += lowbit(dir);
        }
    }

    inline int get(int ver , int dir){
        ;
        while(dir){
            (sum += Tree[ver][dir]) %= MOD;
            dir -= lowbit(dir);
        }
        return sum;
    }

    void calc_1xxx(){
        for(int i = N ; i ; --i){
             , num[i]);
            sum = (sum - t * (t - ) * (t - ) /  % MOD + MOD) % MOD;
            add( , num[i] , );
        }
    }

    void calc_1234(){
         ; i <= N ; ++i){
            sum = (sum +  , num[i])) % MOD;
            add( , num[i] ,  , num[i]));
            add( , num[i] ,  , num[i]));
            add( , num[i] , );
        }
        memset(Tree ,  , sizeof(Tree));
    }

    void calcl(){
         ; i <= N ; ++i){
            l[i] =  , num[i]);
            add( , num[i] , );
        }
    }

    void calcr(){
        for(int i = N ; i ; --i){
            r[i] =  , num[i]);
            add( , num[i] , );
        }
    }

    void calc_1x2x(){
         ; i <= N ; ++i){
            ) - 1ll * l[i] * (l[i] - ) /  -  , num[i])) % MOD;
            sum = (sum + times * base) % MOD;
            add( , num[i] , i);
        }
    }

    void calc_13xx(){
         ; i <= N ; ++i){
            ) - 1ll * l[i] * (l[i] - ) /  -  , num[i])) % MOD;
            sum = (sum + times * base) % MOD;
            add( , num[i] , num[i]);
        }
    }

}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("4528.in" , "r" , stdin);
    //freopen("4528.out" , "w" , stdout);
#endif
    N = read();
     ; i <= N ; ++i)
        num[i] = read();
    calc::calc_1xxx();
    calc::calc_1234();
    calc::calcl();
    calc::calcr();
    calc::calc_1x2x();
    calc::calc_13xx();
    cout << sum;
    ;
}