[ML学习笔记] 朴素贝叶斯算法（Naive Bayesian)

[ML学习笔记] 朴素贝叶斯算法（Naive Bayesian)

## 贝叶斯公式

\[P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)}
\]

我们把P(A)称为"先验概率"（Prior probability），即在B事件发生之前，对A事件概率的一个判断。P(A|B)称为"后验概率"（Posterior probability），即在B事件发生之后，对A事件概率的重新评估。P(B|A)/P(B)称为"可能性函数"（Likelyhood），这是一个调整因子，使得预估概率更接近真实概率。

所以，条件概率可以理解成式子：后验概率 ＝ 先验概率 ｘ 调整因子。这就是贝叶斯推断的含义。先预估一个"先验概率"，然后加入实验结果，看这个实验到底是增强还是削弱了"先验概率"，由此得到更接近事实的"后验概率"。

而分类问题的目标是，根据给定特征得出类别。代入到贝叶斯公式中就是：

\[P(类别\mid 特征) = \frac{P(特征\mid 类别)P(类别)}{P(特征)}
\]

##拼写纠正实例

需求：当用户输入一个不在字典中的单词，推测他想输入的单词

猜测用户想输入的单词为h，而实际输入的单词D，根据公式有：

\[P(h\mid D) = \frac{P(h)P(D\mid h)}{P(D)}
\]

对于不同的猜测词h1、h2、h3...，P(h)为词频，P(D|h)可用不同字母的个数 / 键盘上的字母键位距离等评估，P(D)为一常数，在比较时可忽略。

于是有 \(P(h\mid D) \propto{P(h)P(D\mid h)}\) ，比较多种猜测中哪个概率最大则可以判断纠正为这个正确的单词。

### 模型比较理论

• 最大似然：最符合观测数据的（即P(D|h)最大的）最有优势
• 奥卡姆剃刀：P(h)较大的模型有较大的优势（越常见的最好 如在拟合曲线中不会使用高阶函数去拟合因为出现概率少）

### 代码

import re, collections

def words(text):
    return re.findall('[a-z]+', text.lower()) #findall(pattern, string, flags=0) 返回string中所有与pattern相匹配的全部子串

def train(features):
    model = collections.defaultdict(lambda: 1) #py2.7中的常用集合模块collections
    for f in features:
        model[f] += 1
    return model

NWORDS = train(words(open('big.txt').read()))

alphabet = 'abcdefghijklmnopqrstuvwxyz'

#两个词之间的编辑距离定义为 使用了几次插入、删除、交换、替换

def edits1(word):   #编辑距离为1
    n = len(word)
    return set([word[0:i]+word[i+1:] for i in range(n)] +                     #删除
               [word[0:i]+word[i+1]+word[i]+word[i+2:] for i in range(n)] +   #交换
               [word[0:i]+c+word[i+1:] for i in range(n) for c in alphabet] + #替换
               [word[0:i]+c+word[i:] for i in range(n) for c in alphabet]    #插入
                )

def edits2(word):    #编辑距离为2
    return set(e2 for e1 in edits1(word) for e2 in edits1(e1))

#只返回正确的单词
def known(words):
    return set(w for w in words if w in NWORDS)

#如果known(set)非空 则不再计算后面的
def correct(word):
    candidates = known([word]) or known(edits1(word)) or known(edits2(word)) or [word]
    return max(candidates, key=lambda w: NWORDS[w]) #返回概率最大的值

# argmaxc P(c|w) -> argmaxc P(w|c)P(c)/P(w)
# P(c) c的词频 P(w|c) 在想键入c的情况下敲成w的概率

## 垃圾邮件过滤实例

这是一个典型的二分类问题。设邮件内容为D，h+表示垃圾邮件 h-表示正常邮件。

于是有

P(h+|D) = P(h+)P(D|h+)/P(D)

P(h-|D) = P(h-)P(D|h-)/P(D)

假设D里面含有N个单词d1,d2,d3...，

P(D|h+) = P(d1,d2,...,dn|h+) = P(d1|h+) * P(d2|d1,h+) * P(d3|d2,d1,h+) * ...

由于朴素贝叶斯分类器基于一个简单的假定：给定目标值时属性之间相互条件独立，于是可化为 P(d1|h+) * P(d2|h+) * P(d3|h+) * ... 也即统计词频