「题解」黑暗塔 wizard

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题目

题意简述

给定 \(y\)，求 \(\varphi(x)=y\) 中 \(x\) 的个数和最大值。

\(1\leq y\leq 10^{12}\)。

题解

欧拉函数

解决这个问题，就必然要知道欧拉函数的计算式是什么。

显然，欧拉函数的计算式子为：

\[\varphi(x)=\prod_{p_i}(p_i-1)p_i^{c_i-1}
\]

我们不难想到，若 \((p_i-1)\mid y\)，那么 \(x\) 可能含有 \(p_i\) 这个质因数，我们直接搜索即可。

复杂度证明

冷静分析，我们不难发现，最劣情况下，一个数 \(y\) 满足 \(x\) 含有 \(p_i\)，则 \((p_i-1)p_i\mid y\)，因此本质不同的质因子个数最多有 \(11\) 个，我们参考反素数的贪心分析，不难写出搜索程序找到最劣情况，发现搜索状态数不多（数量级在 \(10^6\)）。

时间复杂度得到了保证。

拓展阅读

个数：A014197。

最大值：A057635。

参考程序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define reg register
typedef long long ll;

bool st;

inline ll max(reg ll a,reg ll b){
	return a>b?a:b;
}

const int S=1e6;

bool vis[S+1];
int tot,prime[S+1];

inline void Init(reg int n){
	for(reg int i=2;i<=n;++i){
		if(!vis[i])
			prime[++tot]=i;
		for(reg int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=n;++j){
			vis[i*prime[j]]=true;
			if(!(i%prime[j]))
				break;
		}
	}
	return;
}

inline bool isPrime(reg ll x){
	if(x<=S)
		return !vis[x];
	else{
		for(reg int i=1;i<=tot&&1ll*prime[i]*prime[i]<=x;++i)
			if(!(x%prime[i]))
				return false;
		return true;
	}
}

int cnt;
ll Max;
vector<ll> V;

inline void dfs(reg ll y,reg int p,reg ll pod){
	if(y==1){
		++cnt;
		Max=max(Max,pod);
		return;
	}
	if(y+1>V[p]&&isPrime(y+1))
		++cnt,Max=max(Max,pod*(y+1));
	for(reg int i=p+1,siz=V.size();i<siz&&1ll*(V[i]-1)*(V[i]-1)<=y;++i)
		if(!(y%(V[i]-1))){
			reg ll ny=y/(V[i]-1),npod=pod*V[i];
			dfs(ny,i,npod);
			while(!(ny%V[i]))
				ny/=V[i],npod*=V[i],dfs(ny,i,npod);
		}
	return;
}

bool ed;

int main(void){
	Init(S);
	int t;
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		ll y;
		scanf("%lld",&y);
		V.clear();
		V.push_back(2);
		for(reg int i=2;i<=tot;++i)
			if(!(y%(prime[i]-1)))
				V.push_back(prime[i]);
		cnt=Max=0;
		dfs(y,0,1),dfs(y,0,2);
		reg ll bas=2;
		while(!(y&1))
			y>>=1,bas<<=1,dfs(y,0,bas);
		printf("%d %lld\n",cnt,Max);
	}
	fprintf(stderr,"%.3lf s\n",1.0*clock()/CLOCKS_PER_SEC);
	fprintf(stderr,"%.3lf MiB\n",(&ed-&st)/1048576.0);
	return 0;
}