洛谷4035 JSOI2008球形空间产生器 （列柿子+高斯消元）

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qwq

首先看到这个题，感觉就应该从列方程入手。

我们设给定的点的坐标矩阵是\(x\)，然后球心坐标\(a_1,a_2....a_n\)

根据欧几里得距离公式，对于一个\(n维空间\)的第\(i\)个点，他距离球心的距离可以表示为$$\sum_{j=1}^n (x_{ij}-a[j])^2 = r^2 $$

通过\(n+1\)个点，我们可以轻松列出来\(n+1\)个方程，但是可惜不是线性。我们考虑该怎么优化这个过程

考虑到相邻的两个方程的右边都是相等的，我们不妨将相邻两个方程进行减法，得到n个新的方程，假设\(i和i+1\)进行减法

\[\sum_{j=1}^n (x_{ij}-a[j])^2 - \sum_{j=1}^n (x_{i+1j}-a[j])^2 = 0
\]

\[\sum_{j=1}^n x_{ij}^2 - \sum_{j=1}^n x_{i+1j}^2 + 2\times \sum(x_{i+1j}-x_{ij})*a_j = 0
\]

其中\(x\)是已知量，我们稍微移项，就可以得到最后的柿子啦

\[\sum(x_{i+1j}-x_{ij})*a_j = \frac{\sum_{j=1}^n x_{i+1j}^2 - \sum_{j=1}^n x_{ij}^2}{2}
\]

那么经过一番变化，现在我们有n个未知数，n个方程，正好可以解出来每个未知数的解。

直接上高斯消元即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define mk make_pair
#define ll long long
using namespace std;
inline int read()
{
  int x=0,f=1;char ch=getchar();
  while (!isdigit(ch)) {if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
  while (isdigit(ch)) {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
  return x*f;
}
const int maxn = 510;
const double eps = 1e-8;
double a[maxn][maxn];
int n,m;
double x[maxn];
double b[maxn][maxn];
double sum[maxn];
void gauss()
{
	int k=1;
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		int now = k;
		while (now<=n && fabs(a[now][i])<=eps) now++;
		if (now==n+1) continue;
		for (int j=1;j<=n+1;j++) swap(a[now][j],a[k][j]);
		for (int j=1;j<=n;j++)
		{
			 if (j!=k)
			 {
			 	 double t = a[j][i]/a[k][i];
			 	 for(int p=1;p<=n+1;p++) a[j][p]=a[j][p]-a[k][p]*t;
			 }
		}
		++k;
	}
	for (int i=n;i>=1;i--)
	{
		for (int j=i+1;j<=n;j++) a[i][n+1]-=a[i][j]*x[j];
		x[i]=a[i][n+1]/a[i][i];
	}
}
int main()
{
  n=read();
  for (int i=1;i<=n+1;i++)
  {
  	 for (int j=1;j<=n;j++)
  	   scanf("%lf",&b[i][j]),sum[i]+=b[i][j]*b[i][j];
  }
  for (int i=1;i<=n;i++)
  {
  	 for (int j=1;j<=n;j++)
  	   a[i][j]=b[i+1][j]-b[i][j];
     a[i][n+1]=(sum[i+1]-sum[i])/2;
  }
  gauss();
  for (int i=1;i<=n;i++) printf("%.3lf ",x[i]);
  return 0;
}