#KD-Tree#洛谷 4849 寻找宝藏

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题目大意

在一个四维坐标系中，给定 \(n\) 个点，问有多少种选择点的方案，

使得这些点排序后任意坐标单调不降，并且选择的点权和最大，同时输出最大值

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分析

设 \(f[i]\) 表示最后一个点为\(i\)时的最大点权和，

则 \(f[i]=\max\{f[j]\}+a[i],p[j]\leq p[i]\)， \(p\) 为四维坐标

设 \(dp[i]\) 表示在取到最大点权和时的方案数，

则 \(dp[i]=\begin{cases}\sum dp[j'],f[j']=\max\{f[j]\}\\ 1,otherwise\end{cases}\)

这是 \(O(n^2)\) 的做法，考虑用K-D Tree维护偏序关系，

需要记录子树内最大值以及出现次数，考虑以下几个方面。

• 建树：第一维可以排序后省掉，其实就剩下三维，然后重构这里用替罪羊树的方法
• 剪枝1：维护子树内每个坐标的最小值和最大值，如果子树内存在一个最小值大于当前坐标，那么无须遍历该子树
• 剪枝2：如果当前答案比子树内的答案大那么这棵子树不用遍历
• 剪枝3：如果子树内所有最大值都不小于当前坐标，那么这棵子树的答案可以直接用

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代码

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define rr register
using namespace std;
const int N=80011; const double alp=0.75;
typedef long long lll; lll Ans,ans[N]; int AC,root,n,ran;
inline signed iut(){
	rr int ans=0,f=1; rr char c=getchar();
	while (!isdigit(c)) f=(c=='-')?-f:f,c=getchar();
	while (isdigit(c)) ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(c^48),c=getchar();
	return ans*f;
}
struct rec{
	int X,p[3]; lll w,c;
	inline bool operator <(const rec &t)const{
	    return p[ran]<t.p[ran];
	}
}a[N];
inline lll min(lll a,lll b){return a<b?a:b;}
inline lll max(lll a,lll b){return a>b?a:b;}
inline signed mo(int x,int y){return (x+y)%998244353;}
struct KD_Tree{
	int mn[N][3],mx[N][3],son[N][2],siz[N],stac[N],TOP,tot;
	lll w[N],wc[N]; rec pt[N],p[N];
	inline void pup(int now){//上传pushup
		for (rr int i=0;i<3;++i){
			mn[now][i]=mx[now][i]=p[now].p[i];
			if (son[now][0]){
				mn[now][i]=min(mn[now][i],mn[son[now][0]][i]);
				mx[now][i]=max(mx[now][i],mx[son[now][0]][i]);
			}
			if (son[now][1]){
				mn[now][i]=min(mn[now][i],mn[son[now][1]][i]);
				mx[now][i]=max(mx[now][i],mx[son[now][1]][i]);
			}
		}
		w[now]=max(p[now].w,max(w[son[now][0]],w[son[now][1]])),wc[now]=0;//最大值只有三种情况
		if (w[now]==p[now].w) wc[now]=p[now].c;
		if (w[now]==w[son[now][0]]) wc[now]+=wc[son[now][0]];
		if (w[now]==w[son[now][1]]) wc[now]+=wc[son[now][1]];
		siz[now]=siz[son[now][0]]+siz[son[now][1]]+1;
	}
	inline bool balance(int now){return alp*siz[now]>=(max(siz[son[now][0]],siz[son[now][1]]));}//替罪羊树判定平衡
	inline void recycle(int now){//回收
		if (son[now][0]) recycle(son[now][0]);
		stac[++TOP]=now,pt[TOP]=p[now];
		if (son[now][1]) recycle(son[now][1]);
	}
	inline signed build(int l,int r,int Ran){//建树
		if (l>r) return 0;
		rr int mid=(l+r)>>1,now=stac[mid];
		ran=Ran,nth_element(pt+l,pt+mid,pt+1+r),p[now]=pt[mid];
		son[now][0]=build(l,mid-1,(Ran+1)%3);
		son[now][1]=build(mid+1,r,(Ran+1)%3);
		pup(now);
		return now;
	}
	inline void rebuild(int &now,int Ran){//重构
		TOP=0,recycle(now);
		now=build(1,TOP,Ran);
	}
	inline void Insert(int &now,rec W,int Ran){//插入
		if (!now) now=++tot,p[now]=W;
		else{
			if (W.p[Ran]<=p[now].p[Ran]) Insert(son[now][0],W,(Ran+1)%3);
			    else Insert(son[now][1],W,(Ran+1)%3);
		}
		pup(now);
		if (!balance(now)) rebuild(now,Ran);
	}
	inline bool check0(int j,int i){
		for (rr int o=0;o<3;++o)
		    if (p[j].p[o]>p[i].p[o]) return 0;
		return 1;
	}
	inline bool check1(int j,int i){
		for (rr int o=0;o<3;++o)
		    if (mn[j][o]>p[i].p[o]) return 1;
		return 0;
	}
	inline bool check2(int j,int i){
		for (rr int o=0;o<3;++o)
		    if (mx[j][o]>p[i].p[o]) return 0;
		return 1;
	}
	inline signed query(int now,lll &ans,int x){
		rr int f=0;
		if (check0(now,x)){
			if (ans<p[now].w) f=p[now].c,ans=p[now].w;
			    else if (ans==p[now].w) f=mo(f,p[now].c);
		}
	    while (son[now][0]){
			rr int t=son[now][0];
			if (check1(t,x)||ans>w[t]) break;//剪枝1、2，下同
			if (check2(t,x)){//剪枝3
				if (ans<w[t]) f=wc[t],ans=w[t];
				    else if (ans==w[t]) f=mo(f,wc[t]);
			}else{
				rr lll o=ans,NOW=query(t,ans,x);
				if (o<ans) o=ans,f=NOW;
				    else if (o==ans) f=mo(f,NOW);
			}
			break;
		}
	    while (son[now][1]){
			rr int t=son[now][1];
			if (check1(t,x)||ans>w[t]) break;
			if (check2(t,x)){
				if (ans<w[t]) f=wc[t],ans=w[t];
				    else if (ans==w[t]) f=mo(f,wc[t]);
			}else{
				rr lll o=ans,NOW=query(t,ans,x);
				if (o<ans) o=ans,f=NOW;
				    else if (o==ans) f=mo(f,NOW);
			}
			break;
		}
		return f;
	}
}Tre;
bool cmp(rec x,rec y){
	if (x.X!=y.X) return x.X<y.X;//在K-D Tree中省略第一维
	for (rr int i=0;i<3;++i)
	if (x.p[i]!=y.p[i]) return x.p[i]<y.p[i];
	return 0;
}
signed main(){
	n=iut(),iut();
	for (rr int i=1;i<=n;++i) a[i]=(rec){iut(),iut(),iut(),iut(),iut(),0};
	sort(a+1,a+1+n,cmp);
	for (rr int i=1;i<=n;++i){
		Tre.p[i]=a[i],a[i].c=Tre.query(root,ans[i],i);
		if (!a[i].c) a[i].c=1;//如果之前没有答案那么方案数为1
		a[i].w+=ans[i],Tre.Insert(root,a[i],0);
	}
	for (rr int i=1;i<=n;++i)
	if (Ans<a[i].w) Ans=a[i].w,AC=a[i].c;
	    else if (Ans==a[i].w) AC=mo(AC,a[i].c);
	return !printf("%lld\n%d",Ans,AC);
}