蓝桥杯 算法训练 ALGO-60 矩阵乘法

算法训练 矩阵乘方  

时间限制：1.0s   内存限制：512.0MB

问题描述

　　给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m，求A的b次方除m的余数。
　　其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵，这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。
　　要计算这个问题，可以将A连乘b次，每次都对m求余，但这种方法特别慢，当b较大时无法使用。下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方)：
　　若b=0，则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。
　　若b为偶数，则A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m，即先把A乘b/2次方对m求余，然后再平方后对m求余。
　　若b为奇数，则A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m，即先求A乘b-1次方对m求余，然后再乘A后对m求余。
　　这种方法速度较快，请使用这种方法计算A^b%m，其中A是一个2x2的矩阵，m不大于10000。

输入格式

　　输入第一行包含两个整数b, m，第二行和第三行每行两个整数，为矩阵A。

输出格式

　　输出两行，每行两个整数，表示A^b%m的值。

样例输入

2 2
1 1
0 1

样例输出

1 0
0 1

 

题目解析：

　　题目中已经给出了解题思路，只需分情况讨论 b 为不同情况时，矩阵该怎样去乘即可。

　　因为C/C++中无法返回二维数组，所以给出两种代码，一种是常规方式，一种为结构体，但思路如题所示。后者较前者的时间复杂度更高，但空间复杂度大致相同。

 

示例代码1：

 #include<iostream>
 #include<memory.h>
 using namespace std;

 #define MAX_NUM 2

 //数组copy 将源数组s复制给目的数组o
 void arrcopy(int s[][MAX_NUM], int o[][MAX_NUM])
 {
     for (int i = ; i < MAX_NUM; i++)
     {
         for (int j = ; j < MAX_NUM; j++)
         {
             o[i][j] = s[i][j];
         }
     }
 }

 /*
     矩阵乘法
     m：模
 */
 void matrixMul(int x[][MAX_NUM], int y[][MAX_NUM], int m)
 {
     int t[MAX_NUM][MAX_NUM];
     memset(t, , sizeof(t));

     for (int i = ; i < MAX_NUM; i++)
     {
         for (int j = ; j < MAX_NUM; j++)
         {
             for (int k = ; k < MAX_NUM; k++)
             {
                 t[i][j] += x[i][k] * y[k][j];
                 t[i][j] %= m;
             }
         }
     }

     arrcopy(t , x); //最终结果保存在数组x
 }

 //分情况处理
 void dispose(int A[][MAX_NUM], int b, int m)
 {
     if (b == )
     {
         int tmp;
         for (int i = ; i < MAX_NUM; i++)
         {
             for (int j = ; j < MAX_NUM; j++)
             {
                 if (i == j)
                     tmp = ;
                 else
                     tmp = ;
                 A[i][j] = tmp % m;    //A为单位矩阵 A^b%m=I%m
             }
         }
         return;
     }

     if (b %  == )    //A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m
     {
         dispose(A, b / , m);
         matrixMul(A, A, m);
     }
     else            //A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m
     {
         int t[MAX_NUM][MAX_NUM];
         arrcopy(A , t);
         dispose(A, b - , m);
         matrixMul(A, t, m);
     }
 }

 int main()
 {
     int b, m;
     scanf("%d%d", &b, &m);

     int A[MAX_NUM][MAX_NUM];
     for (int i = ; i < MAX_NUM; i++)
     {
         for (int j = ; j < MAX_NUM; j++)
         {
             scanf("%d", &A[i][j]);
         }
     }

     dispose(A, b, m);

     for (int i = ; i < MAX_NUM; i++)
     {
         for (int j = ; j < MAX_NUM; j++)
         {
             printf("%d ", A[i][j] % m);
         }
         printf("\n");
     }

     return ;
 }

示例代码2：

 #include<iostream>
 using namespace std;

 #define MAX_NUM 2

 struct Matrix
 {
     int arr[MAX_NUM][MAX_NUM];
 };

 Matrix A;

 //矩阵乘法，与m取模，返回结果
 Matrix mul(Matrix x, Matrix y, int m)
 {
     Matrix t;
     for (int i = ; i < MAX_NUM; i++)
     {
         for (int j = ; j < MAX_NUM; j++)
         {
             t.arr[i][j] = ;
             for (int k = ; k < MAX_NUM; k++)
             {
                 t.arr[i][j] += x.arr[i][k] * y.arr[k][j];
                 t.arr[i][j] %= m;
             }
         }
     }
     return t;
 }

 //分情况处理
 Matrix dispose(Matrix A, int  b, int m)
 {
     if (b == )
     {
         for (int i = ; i < MAX_NUM; i++)
         {
             for (int j = ; j < MAX_NUM; j++)
             {
                 if (i == j)
                     A.arr[i][j] =  % m;
                 else
                     A.arr[i][j] =  % m;
             }
         }
         return A;
     }

     Matrix t = dispose(A, b / , m);
     if (b %  == )
         return mul(t, t, m);
     else    //当b为奇数时，先计算A^(b/2)次方，再乘以A，即A^(b-1)*A
              //例如，b=5，b/2=2，即A^5 = (A^2 * A^2) * A
         return mul(mul(t, t, m), A, m);
 }

 int main()
 {
     int b, m;
     scanf("%d%d", &b, &m);

     for (int i = ; i < MAX_NUM; i++)
     {
         for (int j = ; j < MAX_NUM; j++)
         {
             scanf("%d", &A.arr[i][j]);
         }
     }

     Matrix p = dispose(A, b, m);

     for (int i = ; i < MAX_NUM; i++)
     {
         for (int j = ; j < MAX_NUM; j++)
         {
             printf("%d ", p.arr[i][j]);
         }
         printf("\n");
     }

     return ;
 }