Myhchael原创题系列 Mychael vs Kid 【题解】

题目链接##

Mychael vs Kid

题解##

先说说这题的由来及前身

前身##

首先有一个很经典的题目：

维护区间加，查询区间\(gcd\)

如果强行用线段树维护的话，区间加之后就没法直接确定当前区间的\(gcd\)，不可直接维护

这个时候就用到了\(gcd\)的一个性质：

\[(a,b) = (a - b,b)
\]

三个的\(gcd\)也是符合的：

\[(a,b,c) = (a,b,c - b) = (a,b - a,c - b)
\]

同样可以推广出\(n\)个的情况

\[gcd\{a_i\} = gcd(a_1,gcd\{a_j - a_{j - 1}\}) \qquad i \in [1,n] \quad j \in [2,n]
\]

也就是说，区间差分了之后，我们要求原区间\(gcd[l,r]\)，就相当于求\(a_l\)和差分后区间\([l + 1,r]\)的\(gcd\)

所以我们只需维护差分区间和区间每个位置的值即可

维护区间值用线段树一点问题都没有

在加法下维护差分区间，一个区间加上一个数，仅影响区间端点的值，所以单点修改即可

所以我们开两棵线段树，一棵维护权值，一棵维护差值的\(gcd\)，即可\(O(nlog^2n)\)解决这道题

本题##

本题多加入了一个区间乘法操作

本来想\(yy\)分块的，可后来发现线段树依旧可写并且暴艹分块

思考一下发现，区间乘法后，区间差分值也乘上那个数，对应\(gcd\)也乘上一个数，可以使用线段树维护

至于端点的差值改变，只需取出端点的值计算出差值后单点加法修改即可

复杂度依旧是\(O(nlog^2n)\)

部分分##

前\(5\%\)，咳，，，

对于\(n,m \le 300\)，暴力求即可

对于没有操作\(2\)的，就是原版题目

对于\(n,m \le 3 \times 10^4\)的，可以考虑分块

std

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define mp(a,b) make_pair<int,int>(a,b)
#define cls(s) memset(s,0,sizeof(s))
#define cp pair<int,int>
#define LL long long int
#define ls (u << 1)
#define rs (u << 1 | 1)
using namespace std;
const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline int read(){
	int out = 0,flag = 1; char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57){if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57){out = (out << 3) + (out << 1) + c - 48; c = getchar();}
	return out * flag;
}
LL n,m,A[maxn],D[maxn];
LL gcd(LL a,LL b){
	if (a < 0) a = -a;
	if (b < 0) b = -b;
	return b ? gcd(b,a % b) : a;
}
struct Seg_Gcd{
	LL Gcd[maxn << 2],tag[maxn << 2];
	void upd(int u){
		Gcd[u] = gcd(Gcd[ls],Gcd[rs]);
	}
	void pd(int u){
		if (tag[u] != 1){
			Gcd[ls] *= tag[u]; tag[ls] *= tag[u];
			Gcd[rs] *= tag[u]; tag[rs] *= tag[u];
			tag[u] = 1;
		}
	}
	void build(int u,int l,int r){
		tag[u] = 1;
		if (l == r){
			Gcd[u] = D[l];
			return;
		}
		int mid = l + r >> 1;
		build(ls,l,mid);
		build(rs,mid + 1,r);
		upd(u);
	}
	void Add(int u,int l,int r,int pos,int v){
		if (l == r){Gcd[u] += v; return;}
		pd(u);
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= pos) Add(ls,l,mid,pos,v);
		else Add(rs,mid + 1,r,pos,v);
		upd(u);
	}
	void Mult(int u,int l,int r,int L,int R,int v){
		if (l >= L && r <= R){Gcd[u] *= v; tag[u] *= v; return;}
		pd(u);
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= L) Mult(ls,l,mid,L,R,v);
		if (mid < R) Mult(rs,mid + 1,r,L,R,v);
		upd(u);
	}
	LL query(int u,int l,int r,int L,int R){
		if (l >= L && r <= R) return Gcd[u];
		pd(u);
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= R) return query(ls,l,mid,L,R);
		if (mid < L) return query(rs,mid + 1,r,L,R);
		return gcd(query(ls,l,mid,L,R),query(rs,mid + 1,r,L,R));
	}
}T2;
struct Seg{
	LL val[maxn << 2],mult[maxn << 2],add[maxn << 2];
	void pd(int u){
		if (mult[u] != 1){
			val[ls] *= mult[u]; mult[ls] *= mult[u]; add[ls] *= mult[u];
			val[rs] *= mult[u]; mult[rs] *= mult[u]; add[rs] *= mult[u];
			mult[u] = 1;
		}
		if (add[u]){
			val[ls] += add[u]; add[ls] += add[u];
			val[rs] += add[u]; add[rs] += add[u];
			add[u] = 0;
		}
	}
	void build(int u,int l,int r){
		add[u] = 0; mult[u] = 1;
		if (l == r){
			val[u] = A[l];
			return;
		}
		int mid = l + r >> 1;
		build(ls,l,mid);
		build(rs,mid + 1,r);
	}
	void Add(int u,int l,int r,int L,int R,int v){
		if (l >= L && r <= R){val[u] += v; add[u] += v; return;}
		pd(u);
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= L) Add(ls,l,mid,L,R,v);
		if (mid < R) Add(rs,mid + 1,r,L,R,v);
	}
	void Mult(int u,int l,int r,int L,int R,int v){
		if (l >= L && r <= R){val[u] *= v; add[u] *= v; mult[u] *= v; return;}
		pd(u);
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= L) Mult(ls,l,mid,L,R,v);
		if (mid < R) Mult(rs,mid + 1,r,L,R,v);
	}
	LL query(int u,int l,int r,int pos){
		if (l == r) return val[u];
		pd(u);
		int mid = l + r >> 1;
		if (mid >= pos) return query(ls,l,mid,pos);
		return query(rs,mid + 1,r,pos);
	}
}T1;
int main(){
	n = read(); m = read();
	for (int i = 1; i <= n; i++){
		A[i] = read();
		D[i] = A[i] - A[i - 1];
	}
	T1.build(1,1,n);
	T2.build(1,1,n);
	LL opt,l,r,v,t1,t2;
	while (m--){
		opt = read(); l = read(); r = read();
		if (opt == 1){
			v = read();
			T1.Add(1,1,n,l,r,v);
			T2.Add(1,1,n,l,v);
			if (r + 1 <= n) T2.Add(1,1,n,r + 1,-v);
		}
		else if (opt == 2){
			v = read();
			t1 = T1.query(1,1,n,l);
			if (r + 1 <= n) t2 = T1.query(1,1,n,r);
			if (l < r) T2.Mult(1,1,n,l + 1,r,v);
			T2.Add(1,1,n,l,t1 * v - t1);
			if (r + 1 <= n) T2.Add(1,1,n,r + 1,t2 - t2 * v);
			T1.Mult(1,1,n,l,r,v);
		}
		else {
			if (l < r) printf("%lld\n",gcd(T1.query(1,1,n,l),T2.query(1,1,n,l + 1,r)));
			else printf("%lld\n",T1.query(1,1,n,l));
		}
	}
	return 0;
}