扩展中国剩余定理 (exCRT) 的证明与练习

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扩展中国剩余定理 (exCRT) 的证明与练习

问题模型

　　给定同余方程组

$$\begin{cases}x&\equiv&x_1&\pmod {p_1}\\x&\equiv&x_2&\pmod {p_2}\\ &&\vdots\\x&\equiv&x_n&\pmod {p_n}\end{cases}$$

　　求解 $x$ 在对 ${\rm lcm}(p_1,p_2,\cdots ,p_n)$ 取模的意义下的值，或判断无解。

证明

　　我们只需要知道如何合并两个方程，就可以将原方程组逐个合并了，所以下面只介绍合并两个方程的方法。

$$\begin{eqnarray*}x&\equiv& a_1&\pmod {p_1}\\x&\equiv& a_2&\pmod {p_2}\end{eqnarray*}$$

　　则 $x=a_1+k_1p_1=a_2+k_2p_2$ 。

　　令 $p={\rm lcm}(p_1,p_2)$，需要求形同 $x\equiv a\pmod p$的一个式子。

$$\begin{eqnarray*}a_1+k_1p_1&\equiv&a_2+k_2p_2 &\pmod {p}\\a_2-a_1&\equiv&k_1p_1-k_2p_2 & \pmod {p}\end{eqnarray*}$$

　　我们先用 exgcd 求解方程 $p_1x+p_2y=\gcd(p_1,p_2)$。设 $g=\gcd(p_1,p_2),z=a_2-a_1$。

　　由于 $g|p$ ，所以，如果 $g|z$ 不成立，那么显然 $g+kp|z$ 也不成立，故无解。

　　否则有解。记 $t=\frac zg$ ，则 $k_1=tx_1,k_2=-tx_2$，于是，$a\equiv a_1+k_1p_1\equiv a_2+k_2p_2\pmod p$ ，单次合并完成。

习题

模板题

　　POJ2891

　　注：由于博主是很久之前做这道模板题的，所以这份模板很丑。要看模板建议看下面的习题内的代码。

习题

　　NOI2018Day2T1