《A First Course in Probability》-chaper5-连续型随机变量-正态分布

古典统计学问题一开始起源于赌博，让我们看这样一道有关赌博的问题。

Q：A、B两人进行n局赌博，A胜的概率是p，现在设置随机变量X表示A赢的局数，当X>np，A给赌场X-np元，否则B给赌场np-X元，那么求解赌场挣钱的期望值？

这个问题中明显有二项分布(伯努利分布)的身影，但是我们面临的困境是，这里是基于二项分布的一个求解随机变量X落在某个范围的概率，如果我们利用二项分布逐项乘开，会得到一个异常繁琐的式子，也是极其不利于计算的。

为了解决这个问题，数学家想到了一个方法：众所周知在连续型随机变量中我们用概率密度曲线f(x)与x轴围成的面积表征某个集合发生的概率，在这里，二项分布是典型的离散型分布列，我们将其做成柱形图，柱形图的面积则表示概率。那么我们基于二项分布的概率密度“柱形图”，其实就是求一个区间段的柱形图的面积和，此时利用到微积分的工具。我们可以将曲线微分成无数小矩形，当然这里也可以将一系列小矩形拟合一条概率密度曲线。而这个过程利用到了strling公式。

有如下过程：

我们先从一个特殊情况开始。

很容易看到，这条概率密度曲线f(x)已经拟合出来了。

因此利用积分的工具我们可以很简便求解二项分布一个区段的概率。

上面考察了二项分布中p=1/2的情况，剩下的问题就是推广了，按照相似的思路与过程，我们将会得到棣莫弗-拉普拉斯极限定理，它便是正态分布的原始雏形：

承接前面对正态分布的介绍，这里继续讨论正态分布的性质以及这些性质的应用。

同时，在这里处理一个特殊类型的正态分布随机变量函数的分布呈现出来的利用概率密度函数和分布函数之间的关系的方法，是在处理连续随机变量函数的分布时，该方法是通用的，同时在一些特殊的情况下，得到一个更加直接的计算公式。

参考博客：http://www.52nlp.cn/%E6%AD%A3%E6%80%81%E5%88%86%E5%B8%83%E7%9A%84%E5%89%8D%E4%B8%96%E4%BB%8A%E7%94%9F%E4%B8%80