状压DP之愤怒的小鸟

题目

传送们P2831

题目较长，不加以赘述

直接步入正题

首先是数学知识，我们可以先根据给出的任意两只猪构建相应的抛物线，同时再构建完之后应判断抛物线的合法性（比如a小于0啊，等等），公式推演就不在这里说了，这里需要注意的是对于浮点型判断，不能单纯用相等，这里我们可以定义一个十分小的数，将两数差值与其相比，一般用到数为\(1e-6\)就可了，根据两个两只猪得来的抛物线，将其他猪带入，求相应抛物线所能经过的所有猪的状态，与原状态求或，即\(num[i][j]|=(1<<(k-1))\)，就是\(k\)在\(i\)，\(j\)所在抛物线上时更新该抛物线状态;

处理完这个，我们可以来定义DP数组了，对于这道题，我们只需要一维数组就可了，定义\(F[i]\)数组代表打死\(i\)状态下猪的所需最少小鸟数，首先枚举状态，其次枚举两层猪的个数（用于枚举抛物线），为了避免重复，第二遍枚举我们从第一遍所在位置开始枚举，在这里我们可以稍稍进行一下优化，在进行第一遍枚举时，如果这只猪已经包含在当前状态内，我们可以直接跳过，因为当我们跳过后，第二遍枚举有两种情况，即第一种，第二遍枚举的猪也包含在当前状态下，这时候可以直接跳过，第二种，所枚举的猪并不在当前状态下，需要进行操作，但是第一层循环会重复操作，故在进行第一遍枚举时，如果这只猪已经包含在当前状态内，我们可以直接跳过，来进行一个优化;

然后是转移方程，分为两种情况

\(i\)和\(j\)相等时，那么我们有\(f[i|(1<<(j-1))]=min(f[i|(1<<(j-1))],f[i]+1)\)，这种情况下\(F[i][(1<<(j-1))]\)只需要转移上一状态，或者在当前状态下多射出一直小鸟;
\(i\)和\(j\)不相等时，\(f[i|num[j][k]]=min(f[i|num[j][k]],f[i]+1)\)，解释同上;

还有一点，

因为本道题是多组测试数据，记得初始化

接下来是代码

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int T,n,m,num[20][20],f[1000000];

double x[20],y[20];

bool same(double x,double y){return fabs(x-y)<1e-6;}//判断相等与否的函数

int main(){

	scanf("%d",&T);

	while(T--){

		scanf("%d%d",&n,&m);

		for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lf%lf",&x[i],&y[i]);

		memset(num,0,sizeof(num));//num数组初始化

		for(int i=1;i<=n;i++){//第一遍枚举猪

			for(int j=i+1;j<=n;j++){//第二遍枚举猪

				if(same(x[i],x[j]))continue;//x[i]=x[j]无法构成抛物线

				double a=(y[j]/x[j]-y[i]/x[i])/(x[j]-x[i]);//公式推导

				if(a>0)continue;//a>0不合法抛物线，跳过

				double b=y[i]/x[i]-a*x[i];//公式推导

				for(int k=1;k<=n;k++){//枚举猪，判断其他猪是不是可以在该抛物线上

					if(same(a*x[k]+b,y[k]/x[k]))num[i][j]|=(1<<(k-1));//如果可以，更新

				}

			}

		}

		memset(f,0x3f3f3f3f,sizeof(f));//初始化f数组

		f[0]=0;//打死0这个状态下的猪需要小鸟0只

		for(int i=0;i<=(1<<n)-1;i++){//枚举状态

        	      for(int j=1;j<=n;j++){//第一层枚举猪

        		      if(!(i&(1<<(j-1)))){//优化（具体见上）

            		            for(int k=j;k<=n;k++){//第二层枚举猪

                		          if(j==k)f[i|(1<<(j-1))]=min(f[i|(1<<(j-1))],f[i]+1);//j=k的转移情况

                		          f[i|num[j][k]]=min(f[i|num[j][k]],f[i]+1);//j！=k的转移情况

               		            }

       		              }

       		      }

       	      }

   	      printf("%d\n",f[(1<<n)-1]);//输出打死(1<<n)-1（即所有猪）状态下猪所需要的小鸟数

	}

}