●BZOJ 1272 [BeiJingWc2008]Gate Of Babylon

题链：

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1272

题解：

容斥，Lucas定理
本题的容斥考虑类似 [BZOJ 1042 [HAOI2008]硬币购物]
即 ANS = 至少 0 种超级神器超过数量限制的方案数
              -至少 1 种超级神器超过数量限制的方案数
             +至少 2 种超级神器超过数量限制的方案数
              -...+...
那么就下来就需要解决两个问题:
1).如果随便选的话，如何求出方案数？
假设需要从 N 种任意宝具里选出不超过 m 个，求法如下：
先考虑必须选 m 个：
这是一个典型的组合问题：
即要把 m 个相同的小球放到 N 个盒子里，且盒子可以为空，求方案数。
则方案数为 ${C}_{N+m-1}^{N-1}$。
怎么理解呢？ 可以叫做 "插隔板法" 吧。
如果现在有 N+m-1 个位置，我们可以在 N-1 个位置放隔板，
并且令相邻的两个隔板(把首尾也看作另外2个隔板)中间的空余位置放小球。
(相邻的两个隔板之间共有 N 个间隙，所以可以把每个间隙依次看做一个盒子。)
则任意一种插隔板的方法都对应一种把小球放入盒子的方法。
所以,方案数为 ${C}_{N+m-1}^{N-1}$

但是这是必须选m个的方案数。
所以需要把下面东西加起来才是选的物品不超过 m个 的方案数

${W=}{C}_{N-1}^{N-1}+{C}_{N}^{N-1}+{C}_{N+1}^{N-1}+\cdots+{C}_{N+m-1}^{N-1}$
然后需要化简这个式子：由一个小性质 : ${C}_{i-1}^{j}+{C}_{i-1}^{j-1}={C}_{i}^{j}$

所以 ${W} = {W} + {C}_{N-1}^{N} – {C}_{N-1}^{N}$
然后就可以从前面一直结合到末尾，得到
${W} = {C}_{N+m}^{N} – {C}_{N-1}^{N}$,但是 ${C}_{N-1}^{N}={0}$
所以  ${W} = {C}_{N+m}^{N}$
然后第一个问题就这么愉快地解决了。
(哦，还有，这个组合数的 N,M都太大了但模数 P 很小，需要用到Lucas定理，不会的快百度百科一下！)
2).如何求出那些用于容斥的方案数呢？
考虑将一些超级神器强制超过使用其限制的个数(设超出的总个数为 k)，
那么在接下来，在 N 种宝具里任意选出不超过剩下的 m=M-k 个物品的方案都为非法方案，
而这个方案数就可以用第一个问题的解决方法去求解。

所以具体做法就是枚举一个集合 S表示该集合里的超级神器会被强制使用超过使用其限制的个数，
然后求出该情况下的方案数后，对应着本文开篇的容斥式子去加加减减就好啦。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define _ % P
#define filein(x) freopen(#x".in","r",stdin);
#define fileout(x) freopen(#x".out","w",stdout);
using namespace std;
int B[100500],h[100500],k[100500],fac[100500],inv[100500];
int N,T,M,P,ANS;
int pow(int a,int b){
	int ret=1;
	while(b){
		if(b&1) ret=(1ll*ret*a)_;
		a=(1ll*a*a)_; b>>=1;
	}
	return ret;
}
int C(int n,int m){
	if(n<m) return 0;
	return 1ll*fac[n]*inv[m]_*inv[n-m]_;
}
int Lucas(int n,int m){
	int ret=1;
	while(m){
		ret=(1ll*ret*C(n%P,m%P))_;
		n/=P; m/=P;
	}
	return ret;
}
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&N,&T,&M,&P); fac[0]=inv[0]=1;
	for(int i=1;i<P;i++) fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)_;
	inv[P-1]=pow(fac[P-1],P-2);
	for(int i=P-2;i;i--) inv[i]=(1ll*inv[i+1]*(i+1))_;
	for(int i=1;i<=T;i++) scanf("%d",&B[1<<(i-1)]);
	for(int s=1,q;q=(s&-s),s<(1<<T);s++)
		k[s]=1ll*k[s^q]+B[q]+1,
		h[s]=h[s^q]+1;
	for(int s=0,m,tmp;s<(1<<T);s++){
		m=M-k[s]; if(m<0) continue;
		tmp=Lucas(N+m,N);
		if(h[s]&1) tmp=(-1ll*tmp+P)_;
		ANS=((1ll*ANS+tmp)_+P)_;
	}
	printf("%d",ANS);
	return 0;
}