[济南集训 2017] 求gcd之和

题目大意:

求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\)

解题报告:

有一个结论:一个数的所有因子的欧拉函数之和等于这个数本身

运用这个我们可以开始推:

\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)\)

\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|gcd(i,j)}\phi(d)\)

\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|i,j}\phi(d)\)

\(\sum_{d=1}^n\phi(d)*(n/d)*(m/d)\)

对于最后一个式子可以数论分块解决,但此题中不需要

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
const int N=1e7+5,mod=998244353;
typedef long long ll;
bool vis[N];int prime[N],num=0,n,m;ll sum[N],phi[N];
void solve(){
	int to;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!vis[i]){
			prime[++num]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=num && prime[j]*i<=n;j++){
			to=i*prime[j];vis[to]=true;
			if(i%prime[j])phi[to]=phi[i]*(prime[j]-1)%mod;
			else{
				phi[to]=phi[i]*prime[j]%mod;
				break;
			}
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)sum[i]=sum[i-1]+phi[i],sum[i]%=mod;
}
void work()
{
	cin>>n>>m;
	if(n>m)swap(n,m);
	solve();
	ll ans=0;
	RG int j;
	for(RG int i=1;i<=n;i=j+1){
		j=Min(n/(n/i),m/(m/i));
		ans+=((sum[j]-sum[i-1])%mod+mod)%mod*(n/i)%mod*(m/i)%mod;
		if(ans>=mod)ans-=mod;
	}
	printf("%lld\n",ans);
}

int main()
{
	freopen("hoip.in","r",stdin);
	freopen("hoip.out","w",stdout);
	work();
	return 0;
}