[HNOI2008] GT考试

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标签 ： DP 矩阵乘法

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题意

n位数中不出现一个子串的方案数。

题解

\(设dp[i][j]\)为前i位匹配到j时的合法方案数。（所谓合法，就是不能有别的匹配更多或相同）

然后显然\(dp[i][j]=dp[i-1][k]×a[k][j]，a[k][j]\)代表从k位加一个数字j的数字个数。

然后这是一个线性的递推，直接上矩阵加速。

最后要求的答案就是 \(\sum_{i=0}^{m-1} dp[n][i]\)。

Code

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define ll long long
#define REP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
#define DREP(i,a,b) for(int i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
#define EREP(i,a) for(int i=start[(a)];i;i=e[i].next)
inline int read()
{
	int sum=0,p=1;char ch=getchar();
	while(!(('0'<=ch && ch<='9') || ch=='-'))ch=getchar();
	if(ch=='-')p=-1,ch=getchar();
	while('0'<=ch && ch<='9')sum=sum*10+ch-48,ch=getchar();
	return sum*p;
}

const int maxn=52;
int n,m,mod;

struct matrix {
	int n,m;
	int g[52][52];
	void Matrix()
		{
			n=m=0;memset(g,0,sizeof(g));
		}

	matrix operator * (matrix a)const
		{
			matrix b;
			b.Matrix();
			b.n=n;b.m=a.m;
			REP(i,0,b.n-1)
			{
				REP(j,0,b.m-1)
				{
					REP(k,0,m-1)b.g[i][j]=(b.g[i][j]+g[i][k]*a.g[k][j])%mod;
				}
			}
			return b;
		}

};
char str[maxn];int nxt[maxn];

matrix make_new()
{
	matrix a;
	a.Matrix();
	a.n=a.m=m;
	REP(i,0,m-1)
	{
		REP(j,0,9)
		{
			int x=i;
			while(x && str[x+1]-'0'!=j)x=nxt[x];
			if(str[x+1]-'0'==j)a.g[i][x+1]++;
			else a.g[i][0]++;
		}
	}
	return a;
}

void init()
{
	n=read();m=read();mod=read();
	cin>>(str+1);
	str[0]='-';
	nxt[1]=0;
	REP(i,2,m)
	{
		int j=nxt[i-1];
		while(j && str[j+1]!=str[i])j=nxt[j];
		if(str[j+1]==str[i])nxt[i]=j+1;
		else nxt[i]=0;
	}
}

matrix Init(int n)
{
	matrix c;
	c.Matrix();
	c.n=c.m=n;
	REP(i,0,n-1)c.g[i][i]=1;
	return c;
}

void doing()
{
	matrix ans=Init(m),a=make_new();
	int k=n;
	while(k)
	{
		if(k & 1)ans=ans * a;
		k>>=1;
		a=a * a;
	}
	ll anss=0;
	REP(i,0,m-1)anss=(anss+ans.g[0][i])%mod;
	cout<<anss<<endl;
}

int main()
{
	freopen("input.in","r",stdin);
	freopen("output.out","w",stdout);
	init();
	doing();
	return 0;
}