详解扩展欧几里得算法（扩展GCD）

浅谈扩展欧几里得（扩展GCD）算法

本篇随笔讲解信息学奥林匹克竞赛中数论部分的扩展欧几里得算法。为了更好的阅读本篇随笔，读者最好拥有不低于初中二年级（这是经过慎重考虑所评定的等级）的数学素养。并且已经学会了学习这个算法的前置知识：欧几里得算法。

对于对欧几里得算法还有知识模糊的读者，请不要担心，这里为你准备了前导知识讲解，请移步至本蒟蒻的另两篇博客：

浅谈GCD

求最大公约数的方式

裴蜀定理

裴蜀定理的概念及证明

因为翻译版本的不同，这个定理可能还会被叫做贝祖定理、\(B\acute{e}zout\)定理等。

裴蜀定理是这样被描述的：

\[\forall a,b\in Z\,\,,\,\,\exists (x,y)\in Z
\]

满足：

\[ax+by=gcd(a,b)
\]

文字描述是这样的：对于任意的整数\(a,b\)，都存在一对整数\(x,y\)，使得\(ax+by=\gcd(a,b)\)成立。

证明：

来看欧几里得算法求解过程的这个函数：

int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

可以看出，这是一个递归求解的函数。在函数递归到最后的时候，存在\(b=0\)，不管\(a\)是什么，这时显然有一对整数\(x=1,y=0\)来使得：

\[a\times 1+0\times 0=\gcd(a,0)
\]

（ps:0和任何数的最大公约数都等于原数，可以从最大公约数和约数的定义得知）

那么，我们通过这个递归的实现过程来进行回溯的模拟。当\(b>0\)，则程序还可以继续往下走：\(\gcd(b,a\%b)=\gcd(a,b)\)。这时假设存在一对整数\(x,y\)，使得其一定会满足\(b\times x+(a\%b)\times y=\gcd(b,a\%b)\)， 因为\(a\%b=a-b\lfloor a/b\rfloor\)，所以有以下的推导：

\[b\times x+(a\%b)\times y=\gcd(b,a\%b)=bx+(a-b\lfloor a/b\rfloor)y=ay-b(x-\lfloor a/b\rfloor y)
\]

这个时候令\(x^{'}=y,y^{'}=x-\lfloor a/b\rfloor y\)，再结合一开始的原式子，就得出：

\[ax^{'}+by^{'}=\gcd(a,b)
\]

因为欧几里得算法的实现是递归的，而我们已经推出其中一个递归过程的实现，那么其他的递归过程就可以借助数学归纳法，一层层地向上推，必然会得出最终结论。

证毕。

裴蜀定理的应用

裴蜀定理：

\[ax+by=\gcd(a,b)
\]

那么可以推出：如果一个数\(m\)满足：\(ax+by=m\)，那么这个\(m\)一定是\(\gcd(a,b)\)的倍数。

那么对于一个经典方程\(ax+by=1\)，利用裴蜀定理，我们有：\(\gcd(a,b)=1\)，即\(a,b\)一定互质。

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扩展欧几里得算法

在介绍扩展欧几里得算法之前，我想首先介绍它的应用：

1、求解不定方程

2、求解模的逆元

3、求解线性同余方程

为什么它能应用到这几个方面呢？回到裴蜀定理：

\[ax+by=m
\]

对于这个不定方程，如果存在一组合法的解\((x,y)\)，那么一定会有\(\gcd(a,b)|m\)，即\(m\)是\(\gcd(a,b)\)的倍数。那么现在我不仅想知道到底有没有解，而是想知道在有解的情况下，这个解到底是多少。

这就是求解不定方程的过程。这个解决的算法就叫做扩展欧几里得算法。

可以发现，我们求解不定方程其实就是要求解一组合法的\((x,y)\)，那么根据裴蜀定理的证明（基于欧几里得算法，采用递归的数学归纳），可以发现\(x,y\)的互相推导的关系。

这种采取递归来求解\(x,y\)的方法就叫做扩展欧几里得算法。

扩展欧几里得算法的实现：

先放板子：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,x,y);
    int k=x;
    x=y;
    y=k-a/b*y;
    return d;
}

扩展欧几里得算法的实现基于裴蜀定理的证明。实质上相当于在做欧几里得算法（普通GCD）的时候对不定方程\(ax+by=m\)的\(x,y\)也做了更改。所以经过扩展欧几里得算法处理过的\(x,y\)就已经是一组合法的可行解了。

这里需要注意一个细节，因为扩展GCD需要对\(x,y\)本身进行修改，所以需要在传参数的时候加取址符，这样能保证被修改。