树形DP初探•总结

这几天，我自学了基础的树形DP，在此给大家分享一下我的心得。

 

首先，树形DP这种题主要就是解决有明确分层次且无环的树上动态规划的题。这种题型一般（注意只是基础、普通的情况下）用深度优先搜索来解决实际的DP部分，而且一般用记忆化搜索，因为树会有重复遍历节点的情况。在一棵树上针对普遍子树都满足根节点与两个子节点有特殊关系的，树形DP就应该是解决这道题的优选方法了。

 

讲完基础的定义，我们来讲几个挺有用的性质：

1、在一棵二叉树上，已知其中序遍历，它的任一个节点都可以成为它的根节点，对于每一个子树都成立。

2、在二叉树上任一个节点出发，都能遍历每一个位置。而且每个节点与另一个节点只有一条枝条连通。

3、树中一定无环。

4、多叉树转变成的二叉树中，原来的兄弟节点的兄弟还是自己的兄弟，孩子的孩子也还是自己的孩子的孩子，但是兄弟的孩子与自己无关，而且兄弟和自己是具有同等发展机会的。

5、树是具有递归性质的，无论是建树还是遍历，递归都有效。

6、……

各位大神如果有什么好的性质可以补充的话，欢迎在评论中补充。

 

接下来，这个存储树的方式也很讲技巧。判断节点数多不多，很少的话建议用邻接矩阵。

假如边数太多的话而且边与边之间联系比较大的话，建议用邻接表（链式前向星，数据大小要开2*n）。或者还可以用专门存树的各种方法，例如树根孩子表示法，双亲表示法，孩子兄弟表示法（重点）……

 

最后讲讲做这种题的步骤：

1、读题，分析。判断这道题到底是不是树形DP，还是披着树的外套的普通区间DP，还是其他树的问题。假如不是，马上找其他的方法。

2、想想怎么建树。首先该用什么来存储，判断这是一棵怎样的树。是单纯二叉树呢，或者单纯多叉树，还是多叉树转二叉树呢，这都需要经验判断，不同的题不一样。建树的过程可以用一个DFS（普通二叉树），也可以用建图的方法（多叉树），还可以用brother和child的方法（多叉转二叉）。

3、列出状态转移方程，并且用记忆化搜索来实现。选择返不返回值的时候因情况而定。

4、检查边界情况和初始化够不够周全，通常会在这里失分。还要想想有没有必要优化和有没有优化的方法，例如用指针存储等等。

 

 

讲几道例题：

 

 

1、加分二叉树

 

这道题分析后发现它并不是树形DP，只是有树的外形的区间DP，所以不满足第一步判断，撤。不过他的输出先序遍历还是挺值得理解一下的。

 

详情请看：http://www.cnblogs.com/Ronald-MOK1426/p/8445336.html

 

 

 

 

2、二叉苹果树

 

这道题是最基础的二叉树版树形DP。他用树根孩子表示法，很简单解决。

注意建树的时候记得删边，而且最后输出的是q+1。

 

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3、最大利润

 

这道题是我们学校初三的一位大佬推荐的，尽管我们并没有做过（是JZOJ的题），但是也是多叉树中的一道好题。注意是双向边。有兴趣的同学可以去搜一下。

 

 

 

 

4、没有上司的舞会

 

这道题也是多叉树的一道经典题目，经过无数次改编。要用邻接表来储存。但是要注意初始化的时候小心点。后面用取点还是不取点的方法取到最大值。

 

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5、选课

 

这道题是一道多叉树转二叉树的经典题。要用孩子兄弟表示法来存储。是一道有依赖性的问题。我比较看好他的改编版，要是我们要输出取了那些课程，那么这道题就变难了许多。我们可以通过原路返回的思想，一路找回相等的数值，那么就可以推出答案。同时也可以边记忆化搜索边推答案。

 

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6、软件安装

 

这道题是选课的一个升级版，假如大家对选课非常熟悉和理解透彻的话，相信理解起来不是问题。但是初始化有点麻烦。

因为题目的意思是可能会出现互相依赖的情况，所以这道题是有环的。所以我们就要加入判环和缩点两个步骤。把判出来的环缩成一个新点。之后就和选课别无他样了。

 

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说了这么多，总结一下。

这只是基础的树形DP，往下学肯定有各种的优化，本人在此先不作讲解，水平有限，见谅。

要是算过内存或者数组会爆的话，可以用链表、指针来优化一下存储的环节。

记忆化搜索部分一定要注意边界条件，否则会出错。

 

最后，讲一个自己总结的树形DP的套路。要是我们判断了一道题是树形DP，那么一般只可能3种存储：邻接矩阵、邻接表、孩子兄弟。然后记忆化部分就是简单的判断有无出现过，到边界了没有，假如都不满足，就搜索下一层，通过不断减少体积（分体积）的方法求出最值。（普通DP的基本操作）

 

 

 

请各位大神指正，谢谢大家！