2017 NEERC

2017 NEERC

Problem A. Archery Tournament

题目描述：在二维平面上，会陆续出现一些圆，以及一些询问，询问点是否在圆内，如果是，则输出那个圆，并把那个圆删掉，否则输出\(-1\)。注意：这些圆均与\(x\)轴相切，并且这些圆不会相交。

solution

因为这些圆都与\(x\)轴相切，所以经过直线\(x=x'\)的圆不会超过\(log\)个。所以只要找出询问点的左右\(log\)个圆逐一判断即可。

时间复杂度：\(O(nlog10^9)\)

Problem B. Box

题目描述：用一张\(n \times m\)的网格纸，折出\(a \times b \times c\)的长方体。输出是否可解。注意：折痕只能是网格线。

solution

题解：答案只有两种情况：

1. \(3b+a+c \leq w\)且\(a+c \leq h\)。
2. \(2a+2c \leq w\)且\(a+2c \leq h\)。
   
   \(a, b, c, w, h\)全部组合一下。

时间复杂度：\(O(1)\)

Problem C. Connections

题目描述：给出一个顶点数为\(n\)的有向图，删掉一些边，使得只剩下\(2n\)条边，且任意两点能互相到达。

solution

从\(1\)开始搜索，搜到的边为留下的边。然后将边的方向全部相反，从\(1\)开始搜索，搜到的边也是留下的边。这样就有至多\(2n-2\)条边，剩下的随便补足\(2n\)条就好了。

时间复杂度：\(O(n)\)

Problem D. Designing the Toy

题目描述：给出一个由\(1 \times 1 \times 1\)方块组成的立体图形的正视图、侧视图、俯视图的面积，问是否存在一种堆积方式，满足题目所给的数据。

solution

假设面积分别是\(a, b, c, c \geq max(a, b)\)，将面积为\(a\)的面变成\(a \times q\)，面积为\(b\)的面变成\(b \times 1\)，然后就相当于在一个\(n \times m\)的网格中填\(c\)个格子，所以如果\(c>ab\)，则无解；否则先填满对角线，剩下的随便填就好了。之所以把面变成\(a \times 1\)和\(b \times 1\)，是因为这样子能填的方块最多，即\(ab\)。

时间复杂度：\(O(c)\)

Problem E. Easy Quest

题目描述：有\(n\)个关卡，每个关卡为一个数字\(a_i\)。如果\(a_i>0\)，则是武器，如果\(a_i<0\)，则是怪兽，只能用值为\(-a_i\)的武器杀死，如果\(a_i=0\)，则可以生成一个任意值的武器。问是否能通关，若能，则每个\(a_i=0\)应该生成什么武器。

solution

贪心，尽量先用已有的武器，再用能生成任意值的武器。

时间复杂度：\(O(n)\)

Problem F. The Final Level

题目描述：用长度为\(n\)的\(L\)型方块摆在二维网格平面上，仅通过方块从\((0, 0)\)走到\((a, b)\)。输出方案。

solution

为了方便，可以先将\((a, b)\)映射到第一象限。然后贪心构造方案。可以逆着构造，zhe这样对于边界的判断会方便一些。

时间复杂度：\(O(n)\)，\(n\)为方块数

Problem G. The Great Wall

题目描述：现要建一堵长度为\(n\)的墙。第\(i\)段墙有三个属性值\(a_i, b_i, c_i\)。现给定一个值\(r\)。自行选定两个值\(x, y\)，形成两个区间\([x, x+r-1], [y, y+r-1]\)，这两个区间必须包含于\([1, n]\)。\(x, y\)对应的墙的值为\(\sum v_i\)，当\(i\)不属于任一区间时，\(v_i=a_i\)；当\(i\)只属于一个区间时，\(v_i=b_i\)；当\(i\)属于两个区间时，\(v_i=c_i\)。求出第\(k\)小的墙的值。

solution

先将\(b_i-=a_i, c_i-=a_i, a_i=0\)。

二分答案\(value\)，判断有多少个数对\((x, y)\)小于等于\(value\)。

先处理区间不相交的情况。预处理\(h_i=\sum_{j=0}^{r-1} b_{i+j}\)，枚举\(i\)，假设\(y=i\)，然后用\(multiset\)之类的数据结构，计算出有多少对\((x, y)\)小于等于\(value\)。

接着就是构造两个函数。

\[g_i=\sum_{j=1}^{i-1} c_j-2b_j + \sum_{j=i}^{i+r-1} c_j-b_j
\]

\[f_i=\sum_{j=1}^{i-1} 2b_j-c_j + \sum_{j=i}^{i+r-1} b_j
\]

这样，数对\((x, y)\)的相交区间的值为\(g_x+f_y\)。这样就可以用与上面一样的方法来求出有多少对\((x, y)\)小于等于\(value\)。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

Problem H. Hack

题目描述：

1 modPow(a, d, n) {
2   r = 1;
3   for (i = 0; i < 60; ++i) {
4     if ((d & (1 << i)) != 0) {
5       r = r * a % n;
6     }
7     a = a * a % n;
8   }
9 }

其中只有第\(5, 7\)行耗时间，若表达式为\(x*y%n\)，则时间为\((bits(x)+1)(bits(y)+1)\)，\(bits(x)\)为二进制位数。已知\(n, d\)是这样生成的：首先随机找两个二进制位数为\(30\)的质数\(p, q\)，其中\(n=pq\)，而\(d\)由\(1\)~\(\phi(m)-1\)随机选取，且与\(m\)互质。现给出\(n\)，每次可向系统输出一个\(a\)，系统返回所需的时间。最后确定\(d\)。

solution

待解决。

Problem I. Interactive Sort

题目描述：随机生成一个\(n\)排列，将奇数按顺序设为\(o\)数组，将偶数按顺序设为\(e\)数组。每次向系统输出一个数对\((x, y)\)，系统返回\(o[x]\)与\(e[y]\)的大小关系，最后确定\(o, e\)数组。

solution

判断\(o[1]\)与\(e\)的所有数的大小关系，从而确定\(o[1]\)，也同时将\(e\)分成小于\(o[1]\)和大于\(o[1]\)两部分，以此类推，会将\(e\)分成\(i+1\)份，在以后的判断中，只要从\(i+1\)份中每份选一个数与\(o[i]\)比较，即可将\(o[i]\)的大小范围缩小到两份，再与这两份中每一个数相比较即可。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)

Problem J. Journey from Petersburg to Moscow

题目描述：有一个有边权的无向图，一条从\(1\)到\(n\)的路径的长度为路径中最长的\(k\)条边的和，如果路径中不足\(k\)条边，则为全部边的和。问\(1\)到\(n\)的最短距离。

solution

待解决。

Problem K. Knapsack Cryptosystem

题目描述：有一个数列\(a_i\)，且满足\(a_i>\sum_{j=1}^{i-1} a_j\)，设\(q=2^{64}, r\)与\(q\)互质，且为一个正数。令\(b_i=(a_i \cdot r) mod q\)。现生成一个数\(num\)，将\(num\)的二进制中为\(1\)的位\(i\)找出，令\(s=\sum b_i mod q\)。现给出\(s\)，求\(num\)。

solution

假如\(n \leq \frac{2}{3}logq\)，则可以将\(n\)分成两半，然后爆搜出两半分别能构成的和，再枚举其中一半的和，另一半能单调枚举。

假如\(n > \frac{2}{3}logq\), 因为\(a_i>\sum_{j=1}^{i-1} a_j\)，所以\(a_1 < \frac{q}{2^n}=t\)，所以可以枚举\(a_1\)，又因\(r\)为奇数，\(q=2^{64}\)，所以\(a_i\)与\(b_i\)最低位\(0\)的个数相同，设个数为\(z\)，所以只需要枚举\(\frac{t}{2^z}\)。

其次可以根据\(a_1\)与\(b_1\)，算出\(r\)，但\(r\)的最高\(z\)位是不确定（因为被模了），所以可以枚举最高位\(2^z\)。然后逐一算出\(a_i\)，看\(a_i\)是不是指数增长，若是，则找到了对的\(r\)，然后从大到小贪心分解\(s\)，得到答案。

时间复杂度：\(O(\sqrt[3]{q})\)

Problem L. Laminar Family

题目描述：给出一棵树，用很多数对\((x, y)\)的路径覆盖树，如果路径有相交部分（包括点相交，但不算互相包含），则输出\(No\)，否则输出\(Yes\)。

solution

树链剖分。将数对按路径长度从长到短排序，然后对每个数对随机生成一个数值\(key\)，将路径上的每个点都异或这个值，判断时只要判断路径上每个点的值是否都相同。

时间复杂度：\(O(nlogn)\)