【JZOJ4922】【NOIP2017提高组模拟12.17】环

题目描述

小A有一个环，环上有n个正整数。他有特殊的能力，能将环切成k段，每段包含一个或者多个数字。对于一个切分方案，小A将以如下方式计算优美程度：

首先对于每一段，求出他们的数字和。然后对于每段的和，求出他们的最大公约数，即为优美程度。

他想通过合理地使用他的特殊能力，使得切分方案的优美程度最大。

数据范围

对于100%的数据，n<=2000,1<=ai<=50000000(5e7)

=w=

设sum=∑ai，

那么答案一定是sum的约数。

证明：

如果存在一个答案ans不是sum的约数，那么切分出来的每一段之和都会是ans的倍数；

每一段的和（也就是sum）就会是ans的倍数。

矛盾。

如果切分i段的答案为ans[i]，那么对于所有j>i，切分j段的答案至少为ans[i]。

证明：

通过子段合并，显然可得。

---

于是我们得出思路：

枚举sum的一个约数i，容易用哈希表加上O(2n)的时间得出最小的j使得ans[j]=i。

代码

// DO NOT FORGET TO OPEN LL
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const char* fin="aP1.in";
const char* fout="aP1.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll maxn=4007,maxp=100000,maxh=99997;
ll n,m,i,j,k;
ll a[maxn],w[maxn],ans[maxn],pre[maxn],sum[maxn];
ll id[maxn];
ll h[maxh],cnt[maxh];
ll getsum(ll l,ll r){
    return pre[r]-pre[l-1];
}
ll hash(ll v){
    ll k=v%maxh;
    while (h[k] && h[k]!=v) k=(k+1)%maxh;
    return k;
}
void add(ll x){
    ll i=hash(sum[x]+1);
    id[x]=i;
    if (h[i]==0){
        h[i]=sum[x]+1;
        cnt[i]=1;
    }else cnt[i]++;
}
void del(ll x){
    ll i=id[x];
    cnt[i]--;
    if (!cnt[i]) h[i]=0;
}
ll find(ll x){
    ll i=id[x];
    if (h[i]) return cnt[i];
    else return 0;
}
void solve(ll v){
    ll i,j,k,cnt=0,tmp=0;
    sum[0]=0;
    for (i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+a[i])%v;
    for (i=1;i<=n/2;i++) add(i);
    for (i=n/2+1;i<=n;i++){
        //tong[sum[i-n/2]]--;
        del(i-n/2);
        add(i);
        if (sum[i]==sum[i-n/2]){
            tmp=max(find(i-n/2),tmp);
        }
    }
    w[tmp]=max(w[tmp],v);
    for (i=n/2+1;i<=n;i++) del(i);
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for (i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),m+=a[i];
    for (i=n+1,j=n*2;i<=j;i++) a[i]=a[i-n];
    for (i=1;i<=n;i++) pre[i]=a[i]+pre[i-1];
    n=n*2;
    for (i=1,j=(ll)sqrt(m);i<=j;i++){
        if (m%i==0) solve(i),solve(m/i);
    }
    k=1;
    for (i=n/2;i>0;i--){
        k=max(k,w[i]);
        ans[i]=k;
    }
    for (i=1;i<=n/2;i++) printf("%lld\n",ans[i]);
    return 0;
}

=o=

其实优化容易想到。

我没深入思考= =