【题解】SDOI2015序列统计

【题解】SDOI2015序列统计

来自永不AFO的YYB的推荐

这里是乘积，比较麻烦，不过由于给定的序列膜数是个小质数，所以可以\(O(m^2\log m)\)找原跟(实际上不需要这么多)。

乘积有点麻烦，转换成加法就好了，然后取离散对数\(a_i\equiv g^{c_i} \mod m\)，现在每个元素都用原根的指数代替了，问题就转变成了有多少种方案使得每个元素的乘积等于\(\log x\mod m\)。

根据题意直接构造

\[F(x)=\sum [\exist \log a_i=i]x^i
\]

答案就是

\[F(x)^n
\]

吗？

其实要魔改一下，乘的过程中要不断地让\(F(x)\)大于\(x^m\)的系数算到\(x^{i \mod m}\)上，原因显然，略。

不能这么敷衍，到时候自己看会一头雾水，取膜的原因是，我们利用的是多项式乘法的组合意义，现在组合意义是要得到\(c_i=\sum_\limits{k+j \equiv i \mod m}a_kb_j\)，所以如此。

既然要不断地让\(F(x)\)对\(x^m\)取膜，所以\(\ln ,\exp\)废了

直接写两个\(\log\)快速幂跑得飞快

//@winlere
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;  typedef long long ll;
inline int qr(){
      register int ret=0,f=0;
      register char c=getchar();
      while(c<48||c>57)f|=c==45,c=getchar();
      while(c>=48&&c<=57) ret=ret*10+c-48,c=getchar();
      return f?-ret:ret;
}

int n,m,x,s,g;
vector < int > ve;
const int maxn=8009;
int lg[maxn];
int read[1<<19|1];
int ans[1<<19|1];

namespace poly{
      const int maxn=1<<19|1;
      int a[maxn],b[maxn],r[maxn];
      int savlen;
      inline void getr(const int&len){
	    if(len==savlen)return;
	    int cnt=0;
	    for(register int t=1;t<len;t<<=1)++cnt;
	    for(register int t=1;t<len;++t)
		  r[t]=r[t>>1]>>1|(t&1)<<cnt>>1;
      }
      const int mod=1004535809;
      const int g=3;
      inline int ksm(int base,ll p){
	    register int ret=1;
	    for(base%=mod;p;p>>=1,base=1ll*base*base%mod)
		  if(p&1) ret=1ll*ret*base%mod;
	    return ret;
      }
      const int gi=ksm(3,mod-2);

      inline void NTT(int*a,const int&len,const int&tag){
	    getr(len);
	    for(register int t=1;t<len;++t)
		  if(r[t]>t) swap(a[t],a[r[t]]);
	    int *a1,*a0,s=g;
	    if(tag!=1) s=gi;
	    for(register int t=1,wn;t<len;t<<=1){
		  wn=ksm(s,(mod-1)/(t<<1));
		  for(register int i=0;i<len;i+=t<<1){
			a1=(a0=a+i)+t;
			for(register int j=0,w=1,tm;j<t;++j,++a1,++a0,w=1ll*w*wn%mod){
			      tm=1ll**a1*w%mod;
			      *a1=(*a0-tm)%mod;
			      *a0=(*a0+tm)%mod;
			      if(*a1<0)*a1+=mod;
			}
		  }
	    }
	    if(tag!=1)
		  for(register int t=0,in=ksm(len,mod-2);t<len;++t)
			a[t]=1ll*a[t]*in%mod;
      }

      inline void print(int*a,int len){
	    for(register int t=0;t<len;++t)
		  printf("%d ",a[t]);
	    putchar('\n');
      }

      inline void KSM(int*a,int*b,const int&len,int p){
	    static int ret[maxn],base[maxn];
	    memset(ret,0,sizeof ret);
	    memset(base,0,sizeof base);
	    ret[0]=1;
	    for(register int t=0;t<len;++t) base[t]=a[t];
	    while(p){
		  NTT(base,len<<1,1);
		  if(p&1){
			NTT(ret,len<<1,1);
			for(register int t=0;t<len<<1;++t) ret[t]=1ll*ret[t]*base[t]%mod;
			NTT(ret,len<<1,-1);
			for(register int t=(len<<1)-1;t-m+1>=0;--t) ret[t-m+1]=(ret[t-m+1]+ret[t])%mod,ret[t]=0;
		  }
		  for(register int t=0;t<len<<1;++t) base[t]=1ll*base[t]*base[t]%mod;
		  NTT(base,len<<1,-1);
		  for(register int t=(len<<1)-1;t-m+1>=0;--t) base[t-m+1]=(base[t-m+1]+base[t])%mod,base[t]=0;
		  p>>=1;
	    }
	    for(int t=0;t<len;++t) b[t]=ret[t];
      }
}

inline int ksm(const int&base,const int&p,const int&mod=m){
      register int ret=1;
      for(register int t=p,b=base%mod;t;t>>=1,b=1ll*b*b%mod)
	    if(t&1) ret=1ll*ret*b%mod;
      return ret;
}

inline void findg(){
#define mod m
      int k=m-1;
      for(register int t=2;1ll*t*t<=k;++t){
	    if(k%t==0){
		  ve.push_back(t);
		  if(k/t!=t) ve.push_back(k/t);
	    }
      }
      //for(auto f:ve) cout<<"fac="<<f<<endl;
      for(register int t=2;;++t){
	    int l=1;
	    for(auto f:ve)
		  if(ksm(t,f)==1) l=0;
	    if(l) {g=t;return;}
      }

#undef mod
}

int main(){

      freopen("sdoi2015_sequence.in","r",stdin);
      freopen("sdoi2015_sequence.out","w",stdout);

      n=qr();m=qr();x=qr();s=qr();
      findg();

      for(register int t=1,k=g;t<m-1;++t,k=1ll*k*g%m) lg[k]=t;
      for(register int t=1;t<=s;++t) {int t1=qr();if(t1)read[lg[t1]]=1;}

      int k=1;
      while(k<=m) k<<=1;
      poly::KSM(read,read,k,n);
      //for(register int t=0;t<k;++t) cout<<read[t]<<' ';
      //cout<<endl;
      int ans=read[lg[x]];
      printf("%d\n",ans);
      return 0;
}