有关求任意一个正整数的n的因数的个数的求解思路

已知条件：n=p1^a1xp2^a2xp3^a3........xpk^ak;求解n的因数的个数；

求解的主要思想：递归

设所有的因数的个数为U1；

则U1会等于什么呢？

不妨设求得p2^a2xp3^a3.......xpk^ak=U2;

则我们可以这样考虑：

U1包含3部分：1.只有p1的因素：共有a1种（无非是p1,p1*p1,...）

2.不包含p1: 共有U2种

3.包含p1,但不只是p1: 共有a1xU2种（对于U2中的每一种情况加乘有p1的项，就会构成新的一个因数）

也许你会有疑问，假如有重复怎么办？答案是不可能的，因为如果重复的那个数是m，则m存在多种素因数分解式，显然矛盾。

因此，我们可以得到一个递推式：U1=a1+U2+a1xU2=a1+(a1+1)U2;但是，有没有注意到，所有的因数都没有包含1，显然我们上面所包含的因素都大于1；

所以设n的所有素因数的个数为C则C=U1+1;

又递推可知：U2=a2+(a2+1)U3

...............................................

以上递推式可解得：U1=a1+a2x(a1+1)+a3x(a2+1)x(a1+1)+.......+akx(a[k-1]+1)x(a[k-2]+1)x....(a1+1)

C=U1+1=a1+1+a2x(a1+1)+.....=(a1+1）x(a2+1)+........

发现了吧:最后C=（a1+1）x(a2+1)x(a3+1).........x(ak+1)

以上就是借助递归思想进行求解的过程，可见递归还是很强大的。