Floyed判环/龟兔算法
求[(5+2√6)2^x+1 ] mod p 的值,其中 0 ≤ x < 232 , p 是个质数,p ≤ 46337 .(这里介绍的是一种暴力的做法)
(5+2√6)2^n+1 = an + bn·√6 ----©,
(5-2√6)2^n+1 = an - bn·√6 ;
所以(5+2√6)2^n+1 + (5-2√6)2^n+1 = 2an ;
因为5-2√6<1 , 所以[(5+2√6)2^x+1 ] = 2an - 1 ;
然后(5+2√6)2^x+1 = (5+2√6) ·(an-1 + bn-1·√6) -----®;
由C,R得:
an=5an-1 + 12bn-1 ,
bn=2an-1 + 5bn-1 ;
所以我们要求的就是 a2^x+1 ;
但是即使用矩阵快速幂,复杂度为O(x) , 所以并卵 ; 同时矩阵并不能用 欧拉定理 进行优化。
所以 波老师 就大胆的猜测对于这个问题 an mod p 的 循环节不会很大 , 所以之后就是暴力找循环节了。
- floyed判圈算法描述:
我们令周期为λ,非周期的长度大小为μ,
他能在O(λ+μ)的时间复杂度 ,O(1)的空间复杂度内,得到λ ,μ 。
- 试用范围:
functional graph:每个点只有一个出度的有向图。
形象的一点说明如果 an = f (an-1) ,那么你就可以对这个数列用floyed判圈。
(对于这道题就是 an = F (an-1 , bn-1) , bn = G (an-1 , bn-1) , 所以自然适用。)
再比如 链表 ……
- 描述及证明:
我们设od为数列的初始状态,Next()为让an-1推出an的递推函数,和两个变量 turt , hare ,相遇点为 x , 进环点为 o。
首先我们令 turt = hare = od ;
然后我们令turt , hare开始移动 : turt 没回合移动一个点 , 表示为 turt = Next (turt) ; hare 每回合移动两个点,表示为 hare = Next ( Next (hare)) ;
如果画成图的话,你可以形象的认为,turt每回合只走一步,hare没回和走两步。
然后我们可以得到两个结论:
- 如果Next () graph 没有环,那么在任何时刻 turt != hare ,并且两者是充要的。
- 如果Next () graph 有环 , 那么必然会有 turt == hare 的时候 , 让我来证明一下:
hare跑啊跑啊,进到圈里了,但是他永远跑不出去了;turt跑啊~跑啊~ ,终于进圈了,它往逆时针的方向瞟了一眼,发现hare在他后面 y 个节点上,turt 心算了一下 再过 y / (2 - 1)的时间hare才追上自己,turt就开心的笑了。
我们对 x 时的状态分析一下:
turt : i = μ + a·λ + x ;
hare : 2·i = μ + b·λ + x ;
所以turt 到这一点所走的路程 i = (b - a)·λ -----À
让我们继续分析下去,在 x 处turt , hare相遇了,我们可以认为在这时他们的路程差为 λ ,所以下一次相遇的时间为 λ / (2-1) = λ , 所以我们又可以得到两个结论:
1.如果我们模拟turt , hare的下一次相遇,那么 turt 所走的路程 1·λ = λ , 所以周期求得。
2.由1可知,两者相遇点仍旧是 x 。
最后只剩下 μ 了:
由À可知如果turt再往前走 μ 步,turt必然会回到 o 点 ,证明:i + μ Ξ μ (mod p) , 又因为从 od 走到 o 点需要 μ 步, 所以得证。
那么又要怎么实现呢?我们令 turt 保持在 x 时的状态 , 让hare = od ;
接下来让 turt , hare 以每回合都以 turt = Next(turt) , hare = Next (hare) 运动,那么他们又会相遇了,这一次显然是在o点相遇,记录这个走的步数及得到 μ 。
伪代码:
void Floyed () {
pii hare = od , turt = od;
lam = mu = 0 ;
int cnt = 0 ;
while(1) {
hare = Next (Next (hare) ) ;
turt = Next ( turt) ;
if (hare.F == turt.F && hare.S == turt.S) break ;
}
while (1) {
hare = Next (Next (hare) ) ;
turt = Next (turt) ;
lam ++ ;
if (hare.F == turt.F && hare.S == turt.S) break ;
}
hare = od ;
while (1) {
hare = Next (hare) ;
turt = Next (turt) ;
if (hare.F == turt.F && hare.S == turt.S) break ;
mu ++ ;
}
printf ("mu = %d , lam = %d\n" , mu , lam) ;
}
题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5451
关于这道题目的后记:
正解其实利用了 广义fib找循环节 的一个性质:http://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/25616461
然后直接对(5+2√6)2^n+1 + (5-2√6)2^n+1用了二阶常系数线性递推,然后用伟达定理得到了an = 10·an-1 - an-2 ;
但是这种东西我不会,后来就想能不能用
an=q·an-1 + p·bn-1 ,
bn=s·an-1 + t·bn-1 ;
推出an , an-1 , an-2 的关系式呢?
然后真的找到了:an = (q+t) · an-1 + (p·s - q·t) · an-2 ;
证明:
p · bn - t · an = (ps - qt) · an-1 ;
p · bn = (ps - qt) · an-1 + t · an ;
所以:p · bn-1 = (ps - qt) · an-2 + t · an-1 ;
带回 an=q·an-1 + p·bn-1 ;
得证 an = (q+t) · an-1 + (p·s - q·t) · an-2 ;
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