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无模型控制（Model-Free Control）

无模型预测概论

• 上一节课：
  • 无模型预测
  • 用于估计一个未知马尔科夫决策过程的价值函数
• 这节课
  • 无模型控制
  • 最优化一个未知马尔科夫决策过程的价值函数

一般在以下两种情况采用无模型预测

• 马尔科夫决策过程是未知的，仅能通过采用得到记录
• 马尔科夫决策过程是已知的，但是过于巨大，仅能通过采样进行

基于策略学习与非基于策略学习（On and Off-Policy Learning）

• 基于策略学习（On-policy learning）
  • “实践出真知”（“Learn on the job”）
  • 基于策略\(\pi\)的采样结果去学习策略\(\pi\)
• 非基于策略学习（Off-policy learning）
  • “站在巨人的肩膀上”（”Look over someone's shoulder“）
  • 基于策略\(\mu\)的采样结果去学习策略\(\pi\)

无模型策略迭代基于动作-状态函数

• 基于\(V(s)\)的贪心策略提升必须要有马尔科夫决策过程的一个模型

  \[\pi'(s)= \mathcal{\mathop{\arg\max}_{a\in A}R^a_s+P^a_{ss'}}V(s')
  \]

• 基于\(Q(s,a)\)的贪心策略提升则是无需模型的

  \[\pi'(s)= \mathop{\arg\max}_{a\in \mathcal{A}}Q(s,a)
  \]

\(\epsilon\)-贪心探索（\(\epsilon\)-Greedy Exploration）

贪心策略提升的缺陷

• 如果我们始终按照策略\(\pi\)的最优解进行行动，那么极有可能我们会卡在局部最优解当中

我们引入\(\epsilon\)-贪心探索以避免这种局部最优解窘况

• 这是一种简单而有效的方式来提供可控的随机探索

• 一切行动\(m\)都基于非零的概率得以被执行

• 有\(1-\epsilon\)的概率选择最优的动作

• 有\(\epsilon\)的概率随机选择一个行动

  \[\pi(a|s) = \Bigg \{
  \begin{align}
  &\frac{\epsilon}{m} + 1-\epsilon\quad & if \quad a^* = \mathop{\arg\max}_{a\in \mathcal{A}}Q(s,a) \\
  & \frac{\epsilon}{m} & otherwise
  \end{align}
  \]

\(\epsilon\)-贪心策略改进

对于任意一个\(\epsilon\)-贪心策略\(\pi\)，关于\(q_\pi\)的\(\epsilon\)-贪心策略\(\pi'\)则为一个提升，\(v_{\pi'}(s)\ge v_{\pi}(s)\)

证明如下：

\[\begin{align}
q_\pi(s,\pi'(s)) & = \sum_{a\in\mathcal A}\pi'(a|s)q_\pi(s,a) \\
& = \frac{\epsilon}{m}\sum_{a\in\mathcal A}q_\pi(s,a) + (1-\epsilon)\max_{a\in\mathcal A} q_\pi(s,a) \\
& \ge \frac{\epsilon}{m}\sum_{a\in\mathcal A}q_\pi(s,a) + (1-\epsilon)\sum_{a\in\mathcal A} \frac{\pi(a|s) - \frac{\epsilon}{m}}{1-\epsilon}q_\pi(s,a) \\
& = \sum_{a\in\mathcal A}\pi(a|s)q_\pi(s,a) \\
& = v_\pi(s)

\end{align}
\]

无限制探索的限制性贪心算法（Greedy in the Limit with Infinite Exploration）（GLIE）

定义：

• 所有状态-动作二元匹配都将被不断地被探索

  \[\lim_{k\rightarrow\infty} N_k(s,a)=\infty
  \]

• 那么策略将会收敛于一个贪心策略

  \[\lim_{k\rightarrow\infty}\pi_k(a|s)=\mathbf1(a=\mathop{\arg\max}_{a'\in \mathcal{A}}Q_k(s,a'))
  \]

• 比如说当\(\epsilon\)-贪心算法为\(\epsilon_k=\frac{1}{k}\)当\(\epsilon\)下降到0，就是GLIE，

GLIE蒙特卡罗控制（GLIE Monte-Carlo Control）

• 基于策略\(\pi\)采样得到第k个序列：\(\{S_1,A_1,R_2,\dots,S_T\}\sim\pi\)

• 对于序列中的一切状态\(S_t\)和动作\(A_t\)

  \[\begin{align}
  N(S,A_t) & \leftarrow N(S_t,A_t) + 1 \\
  Q(S_t,A_t) & \leftarrow Q(S_t,A_t) + \frac{1}{N(S_t,A_t)}(G_t - Q(S_t,A_t))
  \end{align}
  \]

• 再基于新的动作-价值函数去提升策略

  \[\begin{align}
  \epsilon & \leftarrow \frac{1}{k} \\
  \pi & \leftarrow \epsilon-greedy(Q)
  \end{align}
  \]

那么GILE蒙特卡罗控制收敛于最优动作-状态函数

• \(Q(s,a)\rightarrow q_\pi(s,a)\)

蒙特卡罗对比时序差分控制

• 时序差分学习对比蒙特卡罗有以下的优点
  • 低方差
  • 在线学习
  • 非完整的序列
• 自然启发：采用时序差分取代蒙特卡罗
  • 对\(Q(S,A)\)采用时序差分
  • 再使用\(\epsilon\)-贪心算法去提升策略
  • 每一步时间缀都更新一次

基于SARSA算法更新动作-价值函数

\[Q(S,A)\leftarrow Q(S,A) + \alpha(R+\gamma Q(S',A')-Q(S,A))
\]

因为是基于五元组\(\mathcal{\langle S,A,R,S',A'\rangle}\)去更新动作-价值函数，故称为SARSA算法

基于策略控制的SARSA算法

• 对\(Q(s,a),\forall s\in S,a\in A(s)\)进行任意初始化，并且\(Q\)（终结状态）\(=0\)
• 重复（对每一个序列）：
  • 初始化\(S\)
  • 从基于由\(Q\)（例如\(\epsilon\)-贪心算法）生成的策略的\(S\)中选择\(A\)
  • 重复（对序列的每一步）
    • 采取动作\(A\)，返回得到\(R\)，\(S'\)
    • 从基于由\(Q\)（例如\(\epsilon\)-贪心算法）生成的策略的\(S'\)中选择\(A'\)
    • \(Q(S,A)\leftarrow Q(S,A) + \alpha[R+\gamma Q(S',A')-Q(S,A)]\)
    • \(S\leftarrow S';A\leftarrow A'\)
  • 直到\(S\)到达终结状态

SARSA算法的收敛性

如果符合以下条件，那么SARSA将会收敛于最优动作-状态函数\(Q(s,a)\rightarrow q_*(s,a)\)

• 策略\(\pi_t(a|s)\)是一个GLIE序列

• 步长的大小\(\alpha_t\)是一个罗宾斯-门罗（Robbins-Monro）序列

  \[\begin{align}
  \sum^{\infty}_{t=1}\alpha_t = \infty \\
  \sum^{\infty}_{t=1}\alpha ^ 2_t \lt \infty
  \end{align}
  \]

n步SARSA算法（n-Step SARSA）

• 对于n步返回回报其中（\(n = 1,2,\infty\)）

  \[\begin{align}
  n=1\quad & (SARSA) & q^{(1)}_t & = R_{t+1} + \gamma Q(S_{t+1}) \\
  n=2\quad & & q^{(2)}_t & = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \gamma^2 Q(S_{t+2}) \\
  \vdots & & \vdots& \\
  n=\infty \quad & (MC) & q^{(\infty)}_t & = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \dots + \gamma^{T-1}R_T \\

  \end{align}
  \]

• 对于n步\(Q\)-返回回报之定义

  \[q_t^{(n)} = R_{t+1} + \gamma R_{t+2} + \dots+\gamma ^ {n-1}R_{t+n} + \gamma ^ nQ(S_{t+n})
  \]

• 那么n步SARSA通过n步\(Q\)-返回回报去更新\(Q(s,a)\)

\[Q(S_t,A_t)\leftarrow Q(S_t,A_t) + \alpha\Big( q_t^{(n)} - Q(S_t,A_t) \Big)
\]

Forward View \(SARSA(\lambda)\)

• 对于返回回报\(q^\lambda\)混合了所有的n步\(Q\)-返回回报\(q_t^{(n)}\)

• 通过权重\((1-\lambda)\lambda^{n-1}\)

  \[q^\lambda_t = (1-\lambda)\sum^\infty_{n=1}\lambda^{n-1}q^{(n)}_t
  \]

• Forward-view \(SARSA(\lambda)\)

  \[Q(S_t,A_t)\leftarrow Q(S_t,A_t) + \alpha\Big(q_t^\lambda - Q(S_t,A_t)\Big)
  \]

Backward View \(SARSA(\lambda)\)

• 正如\(TD(\lambda)\)一样，我们采用有效性检测作为一个在线的算法

• 只不过在\(SARSA(\lambda)\)中每一个动作-状态对都仅有一次有效性检测

  \[\begin{align}
  E_0(s,a)& =0\\
  E_t(s,a)& = \gamma\lambda E_{t-1}(s,a) + \mathbf1(S_t=s,A_t=a)
  \end{align}
  \]

• 每个状态\(s\)与动作\(a\)的\(Q(s,a)\)都得以更新

• 正比于时序差分误差\(\delta_t\)和有效性检测\(E_t(s,a)\)

  \[\begin{align}
  &\delta_t = R_{t+1} + \gamma Q(S_{t+1}, A_{t+1}) - Q(S_t,A_t) \\
  & Q(s,a)\leftarrow Q(s,a) + \alpha\delta_t E_t(s,a)
  \end{align}
  \]

\(SARSA(\lambda)\)流程（Backward View版本）

随机初始化\(Q(s,a)\)，其中\(\mathcal{s\in S,a\in A(s)}\)

重复（对所有序列）

​ \(E(s,a) = 0\)，其中\(\mathcal{s\in S,a\in A(s)}\)

​ 初始化\(S,A\)

​ 重复（对序列中的每一步）

​ 得到动作\(A\)，可以观测到的\(R,S'\)

​ 基于\(Q\)（比如\(\epsilon\)-贪心算法）生成的策略以及状态\(S'\)得到动作\(A'\)

​ \(\delta\leftarrow R+\gamma Q(S',A')-Q(S,A)\)（TD-error）

​ \(E(S,A)\leftarrow E(S,A) + 1\)

​ 对于所有\(\mathcal{s\in S,a\in A(s)}\)

​ \(Q(s,a) \leftarrow Q(s,a) + \alpha\delta E(s,a)\)

​ \(E(s,a)\leftarrow \gamma\lambda E(s,a)\)

​ \(S\leftarrow S';A\leftarrow A'\)

​ 直到\(S\)为终止状态

[例子时间，基于gridWorld解释了有\(\lambda\)和无\(\lambda\)的区别]

非基于策略学习（Off-Policy Learning）

• 通过评价策略\(\pi(a|s)\)来计算\(v_\pi(s)\)或者\(q_\pi(s,a)\)

• 当基于行为策略\(\mu(a|s)\)

  \[\{S_1,A_1,R_2,\dots,S_T\}\sim\mu
  \]

• 为何这样做很重要呢？

• 通过观察人类专家或者其他agent的作法学习

• 重新利用基于旧策略\(\pi_1,\pi_2,\dots,\pi_{t-1}\)学到的记录

• 从探索性的策略中学习最优策略

• 从一个策略中学到复数个策略

重要性采样（Importance Sampling）

• 用于估算不同分布的期望
  \[\begin{align}
  \mathbb{E}_{X\sim P}[f(X)] & =\sum P(X)f(X)\\
  & = \sum Q(X)\frac{P(X)}{Q(X)}f(X) \\
  & = \mathbb{E}_{X\sim Q}\bigg[\frac{P(X)}{Q(X)}f(X)\bigg]
  \end{align}
  \]

在非基于策略的蒙特卡罗中应用重要性采样

• 利用从\(\mu\)中产生的返回回报去评价\(\pi\)

• 基于策略之间的相似程度去决定返回回报\(G_t\)的权重

• 对整个序列乘以一个重要性采样的修正指数

  \[G_t^{\pi/\mu}=\frac{\pi(A_t|S_t)\pi(A_{t+1}|S_{t+1})}{\mu(A_t|S_t)\mu(A_{t+1}|S_{t+1})}\cdots\frac{\pi(A_T|S_T)}{\mu(A_T|S_T)}G_t
  \]

• 基于修正过的返回回报去更新价值函数

  \[V(S_t)\leftarrow V(S_t) + \alpha\bigg(\color{red}{G_t^{\pi/\mu}}-V(S_t)\bigg)
  \]

• 若\(\mu\)等于\(0\)而\(\pi\)为非零，则该方法无法使用

• 重要性采样会显著地增加方差

• 蒙特卡罗真的真的不好用，要用就用TD算法（David Silver语）

在非基于策略的蒙特卡罗中应用重要性采样

• 利用从\(\mu\)中产生的时序差分目标去评价\(\pi\)

• 基于重要性采样去决定时序差分目标\(R+\gamma V(S')\)的权重

• 只需进行一次一个重要性采样修正

  \[V(S_t)\leftarrow V(S_t) + \alpha\bigg( \color{red}{\frac{\pi(A_t|S_t)}{\mu(A_{t}|S_{t})}(R_{t+1} + \gamma V(S_{t+1}))} -V(S_t) \bigg)
  \]

• 方差相比于重要性采样的蒙特卡罗要低得多

• 因为策略只需要在一部内相似

动作价值学习（Q-Learning）

• 我们定义一个针对于动作-价值函数\(Q(s,a)\)的非基于策略学习

• 完全不需要重要性采样

• 基于行为策略去选择下一个动作\(A_{t+1}\sim \mu(\cdot |S_t)\)

• 但是我们定义一个不一样的后继动作\(A'\sim \pi(\cdot|S_t)\)

• 同时基于不一样的动作的价值去更新\(Q(S_t,A_t)\)

  \[Q(S_t,A_t)\leftarrow Q(S_t,A_t) + \alpha(\color{red}{R_{t+1} + \gamma Q(S_{t+1},A')}-Q(S_t,A_t))
  \]

非基于策略的Q-Learning

• 现在我们允许行为策略与目标策略可以同时提升

• 目标策略\(\pi\)是关于\(Q(s,a)\)的贪心算法

  \[\pi(S_{t+1})=\mathop{\arg\max}_{a'}Q(S_{t+1},a')
  \]

• 而行为策略\(\mu\)则例如是关于\(Q(s,a)\)的\(\epsilon\)-贪心算法

• 那么动作价值学习的目标是简化

  \[\begin{align}
  & R_{t+1} + \gamma Q(S_{t+1},A')\\
  = & R_{t+1} + \gamma Q(S_{t+1},\mathop{\arg\max}_{a'}Q(S_{t+1},a')) \\
  = & R_{t+1} + \max_{a'}\gamma Q(S_{t+1},a')
  \end{align}
  \]

Q-Learning算法（或称SARSAMAX）

\[Q(S,A)\leftarrow Q(S,A)+ \alpha\bigg(R + \gamma \max_{a'}Q(S',a') - Q(S,A)\bigg)
\]

DP与TD的关系

	完全备份（DP）	采样备份（TD）
求解\(v_\pi(s)\)的贝尔曼期望方程	迭代策略评价	时序差分学习
求解\(q_\pi(s,a)\)的贝尔曼期望方程	Q-策略迭代	SARSA
求解\(q_*(s,a)\)的贝尔曼最优方程	Q-价值迭代	动作价值学习