About & Ideas & Queries

About

Blog主现高一，文化课和OI啥都不会

本Blog主太懒，所以很多内容都缩在一个文章里，如数学、图论大礼包

https://wenku.baidu.com/view/56d76029647d27284b735158.html

---

Ideas

• 看一个结论： \(n=0,n=1\)的时候显然成立

\(n\geq2\)时，假设\(n-1,n-2\)都成立，则：\(\sum_{i=k}^n\tbinom{i}{k}=\tbinom{n}{k}+\sum_{i=k}^{n-1}\tbinom{i}{k}=\tbinom{n}{k}+\tbinom{n}{k+1}=\tbinom{n+1}{k+1}\)

update：底下评论里的AH队长why执政 指正要把n=k提出来

• \(O(\sum_{d|n} d^{0.5})=O(n ^{0.5 + \epsilon})<O(n^{0.75})\)

• \(x | \frac{n}{y} \Longleftrightarrow y | \frac{n}{x}\)，证明显然，然而没想到用

• \(\gcd(a^m - b^m, a^n - b^n)=a^{\gcd(m, n)} - b^{\gcd(m, n)},\gcd(a,b)=1\)

• 一个重复2次的子串长度2L，一定包含s[1], s[1 + L], s[1 + 2*L],...,中的某相邻两项

• 儿子的值对父亲有贡献，考虑树剖

• 线段树归并建树可以处理出对于每个x，左右儿子最大的<=x的树的多少，这样可以询问时可以O(1)转移，是二维数点常用技巧

• 对于LIS可以考虑差分前缀maxf数组，或是记录二分LIS的单调栈（状压技巧）

• 对于排列问题一种考虑方式是从1_i推到1i+1

• 区间dp的种种套路：比如断成2个区间考虑，比如考虑去掉最后一个点（或块）

• 一种线段树求全局答案的方法：结点只保存完全在区间内的操作，其他操作在祖先处考虑（如扫描线区间覆盖）

• s个[0,mod]的随机变量max的期望是mod/(s+1)*s

• \(a-b \leq a \text{ xor } b\)

• 若\(a>b,\gcd(a, b)\leq a - b\)

• 二维曼哈顿距离最小生成树：考虑一个45度区域里只有一个最近需要连边。树状数组优化即可。

• 在01trie上解决一类问题：每次把当前集合划分成第k位是0和1的两个集合，递归到k-1位去做再考虑合并（叫二进制分组？）

• 一个二维问题无法下手，考虑行列分开，可能行列是独立的。

• 设\(m\)为最大数，\(c\)为不同数字个数；一种\(O(n + mc)\)求严格LIS：\(f(i, j)\)表示前\(i\)个数以数字\(j\)结尾的LIS，然后这个可以把第一维滚掉。每次\(f(a[i])\)去刷\(f(a[i]+1)\)到\(f(m)\)的值，遇到\(\geq f(a[i])\)就停。冷静分析一下复杂度很对：\(f\)一共就\(c\)种取值，每种取值最坏把\(m\)个位置都覆盖一遍。

• 求若干个有序数组，每个数组选一个数然后加起来，求\(Kth\)：两两合并。合并\(A,B\)，先将\((a[1], b[i])\)入大根堆，每次取出(a[i], b[j])的时候再把\((a[i + 1], b[j])\)丢进去。

• 计数dp时，考虑整体的加减和加入最小数；规定一个顺序（从小到大）最后乘一下阶乘。

• 点分治：单调队列按秩合并以优化复杂度

• 模意义下无法开根号？扩域试试！

• 据说\(Z=(a+bi)^n\)，\(Z\)的共轭复数的\(n\)次方=\(Z\)的\(n\)次方的共轭复数

证明：用\(Z'=a-bi\)表示\(Z=a+bi\)的共轭复数

先证一个结论：\(A’B‘=(AB)'\)。使用定义即可。

然后归纳，\(n=1\)显然成立

假设\(n=k\)成立，即\((Z^k)'=(Z')^k\)

两边乘以\(Z'\)：\((Z^k)'Z'=(Z')^{k+1}\)

再用一下上面的结论：\((Z^{k+1})'=(Z')^{k+1}\)

Q.E.D

• \([i \bmod 2 = 0]=\frac{(-1)^i+1^i}{2}\)

• 无向图连通图简单环个数\(2^{m-n}\)。简单环可以表示成任意基环xor（基环值任意生成树，非树边与树上路径形成的环）。基环可以用dfs在\(O(n+m)\)时间里找到。

• \(\lfloor \frac{a}{c} \rfloor +\lfloor \frac{b}{c} \rfloor \leq \lfloor \frac{a + b}{c} \rfloor\)

• \(\prod (a_i !) \mid (\sum a_i)!\)

• max树上差分用左偏树即可。或者反向倍增。

• 树形dp中u选fa必选可以考虑按dfs序dp

• 拓扑标记：n到1分配，找出度为0最大点

• 听说随机点集凸包上点个数的期望是\(O(\sqrt n)\)的

• 排列问题有时候可以用预支付思想。

• 一个语法小trick：

struct cmp {
	bool operator () (const Node &a, const Node &b) const {
		return a.d < b.d;
	}
};
priority_queue<Node, vector<Node>, cmp> pq;
//用cmp排序，每次取最后一个

• \(d(n)=O(n^{\frac{1.066}{\ln \ln n}})\)，int和ll以内约数个数最大分别为\(10^3\)和\(10^5\)级别

• 二维的某些问题考虑标号以2n为基（因为坐标差在-(n-1) 到 (n-1)之间），方便使用卷积。

• 带删除堆：两个priority_queue即可实现

• 若给定多边形不知顺逆顺序，通过符号是否相反来判断凹凸，及点在多边形内外。另外求点到线段距离西先求夹角大小。

• 令\(n = \prod_{i = 1}^k p_i ^ {c_i}\)，\(f(n) = \max(c_i), g=f*\mu\)

若存在\(c_i \not = c_j\)，则\(g(n) = 0\)。

否则\(